Cauchyfolge

01.03.2008, 19:34

Frog2000

Cauchyfolge

Guten Abend.

Ich hab folgendes Problem:

Folgende Funktion ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x):= \begin{cases} 0 & -1 \leq x < 0 \\ \frac{n}{2} x^2 & 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \\ x - \frac{1}{2 n} & \frac{1}{n} < x \leq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Man soll nun zeigen, dass es sich hierbei um eine Cauchy-Folge (bzgl. der Maximumsnorm) handelt.

Also muss ich zeigen: $\begin{eqnarray*} \lim_{m, n \to \infty} \vert\vert f_{m} - f_{n} \vert\vert_{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$

Ok, ich hab mir gedacht erst einmal $\begin{eqnarray*} \vert\vert f_{m} - f_{n} \vert\vert_{\infty} \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Problem ist jedoch dass dies ohne größere Fallunterscheidungen wohl nicht funktioniert.

Hat vielleicht jemand eine Idee wie ich hier weiterkommen könnte?

Vielen Dank schon mal.

01.03.2008, 19:37

Dual Space

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RE: Cauchyfolge

Zitat:

Original von Frog2000
Also muss ich zeigen: $\begin{eqnarray*} \lim_{m, n \to \infty} \vert\vert f_{m} - f_{n} \vert\vert_{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$

Sicher? Wie ist denn eine CF definiert?

01.03.2008, 19:59

Frog2000

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Ich hab die Definition von hier:

https://www.lehrportal.de/get/text/1042

Zur Funktion sollte ich vielleicht noch sagen: $\begin{eqnarray*} f_{n} : [-1,1] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{n} \in C^1[-1,1] \end{eqnarray*}$ .

01.03.2008, 20:01

Dual Space

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Halte dich lieber an die Formulierung nach dem "d.h. ...", denn bei der doppelten Grenzwertbildung sollte man äußerste Vorsicht walten lassen.

01.03.2008, 20:25

Frog2000

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ok, aber wie gehe ich jetzt vor? Ich kann jetzt einfach mal ein Epsilon > 0 vorgeben. Aber wie gehts weiter? Das gibt doch eine riesige Fallunterscheidung. Kann man das nicht einfacher lösen?

01.03.2008, 22:29

Mathespezialschüler

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Doch, indem du zeigst, dass die Folge (bezüglich der Supremumsnorm) konvergiert. Dann kannst du einfach den Satz anwenden, dass jede konvergente auch eine Cauchyfolge ist.

01.03.2008, 22:49

Frog2000

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ok, meinst du so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \vert \vert f_{n} \vert \vert_{\infty} =\lim_{n \to \infty} \vert 1 - \frac{1}{ 2 n } \vert = 1 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe nur dass das Maximum stimmt !?

02.03.2008, 10:24

Dual Space

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Ja, das geht so.

02.03.2008, 13:55

Mathespezialschüler

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Nein, das ist falsch. Eine Folge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ von Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n:X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} f:X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ bezüglich der Supremumsnorm, wenn

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_{\infty}=0 \end{eqnarray*}$

ist. Du hast die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ genommen und wie du siehst, konvergiert $\begin{eqnarray*} \|f_n-f\|_{\infty}=\|f_n\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ dann nicht gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , sondern gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Denk doch lieber nochmal drüber nach, gegen welche Funktion die dir gegebene Folge konvergieren könnte!

02.03.2008, 14:10

Dual Space

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OK ... so wie es da steht ist es tatsächlich falsch - danke MSS.

Frog2000 hat immerhin schon mal ausgerechnet, dass $\begin{eqnarray*} \|f\|_\infty=1 \end{eqnarray*}$ ist. Der Rest liegt dann auf der Hand.

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