Eigenwerte

01.03.2008, 23:08	Mathegast	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte Hallo, sind die Eigenwerte einer Matrix invariant unter zeilenumformungen? Hm, weil dann könnte man ja einfach jede Matrix in eine obere Dreiecksmatrix umwandeln und dann hätte man die Eigenwerte schon auf der Diagonalen stehen...? Aber wie kann man begründen dass das so einfach wohl leider nicht geht? VG
01.03.2008, 23:49	Gigi	Auf diesen Beitrag antworten »
Unsinn!
02.03.2008, 00:04	Mathegast	Auf diesen Beitrag antworten »
also bei einer Dreiecksmatrix stehen ganz sicher die Eigenwerte auf der Diagonalen, da die Determinante ja gerade das Produkt der Diagonaleinträge ist, d.h. $\begin{eqnarray} p(\lambda) = det(A - \lambda I) = (a_{11} - \lambda) \cdot .... \cdot (a_{nn} - \lambda) = 0 \end{eqnarray}$ und das ist genau der Fall wenn $\begin{eqnarray} \lambda_{1} = a_{11},..., \lambda_n = a_{nn} \end{eqnarray}$ . ... und in der oberen Gleichung was du gezeigt hast, ist doch dann $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ der Eigenwert zu der Matrix LA und nicht mehr von der Matrix A ??? Hilfe, Mathematiker, wo seid ihr...?? oder hab ich mit deiner Hilfe meine Fragen jetzt doch selbst beantwortet...? Bitte schreibt nochmal was zu den Zeilenumformungen... das wüsste ich gern 100prozentig...
02.03.2008, 00:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur ersten Frage. Nein, einfach Gauß-Algo anwenden geht i.A. nicht. Denn die Matrizen am Anfang und am Ende sind i.a. nicht mehr ähnlich, d.h. das Spektrum ist verschieden. Es bleibt nur, dass die beiden LGS die gleiche Lösungsmenge haben. Eigenvektor bestimmen Bei Dreiecksmatrzien stehen die Eigenwerte auf der Diagonalen, das ist richtig. Die Problematik mit der Gigi das wohl durcheinander bringt, ist die Frage nach der Trigonalisierung bzw. Diagonalisierung. Da ist aber die Kernfrage: "Ist meine Matrix A ähnlich zu einer Dreiecksmatrix? Oder sogar ähnlich zu einer Diagonalmatrix?" Da liegt A aber nicht in einer der beiden Gestalten vor. Checkpunkte sind schon die Eigenwerte, aber die müssen ja nun erst einmal bestimmt werden.
02.03.2008, 00:21	Gigi	Auf diesen Beitrag antworten »
Uhuh Schande über mich LA ist aber schon n ganzes Stückchen her hehe, das mit der Diagonalen hätte mir auffallen müssen bzgl. der Bestimmung des Charakteristischen Polynoms (Determinantentrick bei Diagonalmatrizen)
02.03.2008, 00:39	Mathegast	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dankeschön für eure Hilfe!
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02.03.2008, 10:26	mathegast	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, hab nochmal eine Frage. A sei eine 3x3 Matrix aus $\begin{eqnarray} C^{3,3} \end{eqnarray}$ , habe die Eigenwerte 1,2,3 und gesucht sind die Eigenwerte der Matrix B = I + 2 A. Nach dem Satz mit der Polynomschreibweise hat ja B dann die EW 3,5,7. Meine Frage ist nun aber ob man das auch so begründen kann: Man nimmt einfach A mal als obere Dreiecksmatrix an (darf man das mit Hilfe des Lemmas von Schur?) und dann ist: $\begin{eqnarray} B = I+ 2A = I + 2\begin{pmatrix}1 & x & x \\ 0 & 2 & x \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & x & x \\ 0 & 5 & x \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also hat B die EW 3,5,7 ? VG

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