Frage zu Extremwertaufgabe

11.09.2005, 14:11

Micha002

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Frage zu Extremwertaufgabe

Schönen Guten Tag =) Ich habe eine Frage zur folgender Aufgabe:

Die Aufgabe lautet:

Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 8 und 12 cm lang. DIesem Dreieck ist ein möglich großes Rechteck einzuschreiben, von dem 2 seiten auf den Katheten des Dreiecks liegen.

Ich hab jetzt ein dreieck gezeichnet mit Hypotenuse: a, Kathethe 12 cm = b und Kathete 8 cm = c
Die Seiten des Rechtecks hab ich dann mit e(breite) und d(länge)

so nun ist ja 1. - $\begin{eqnarray*} e \cdot d \end{eqnarray*}$ soll maximal werden

nun muss man als nächstes mit einem Strahlensatz arbeiten, und da hab ich dann mein Problem, ich hab dann den Strahlensatz genommen wo sich folgendes zueinander verhält: $\begin{eqnarray*} \frac{12}{8} = \frac{e}{d} \end{eqnarray*}$

soo dann hab ich es einfach nach dem normalen Schema gerechnet dann kommt bei mir

d= -2
e= $\begin{eqnarray*} -\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

--- A = $\begin{eqnarray*} \frac{16}{3} \end{eqnarray*}$

Ist das die richtige Lösung?

11.09.2005, 16:12

Frooke

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Wie kommst Du da auf deine negativen Zahlen?

Du kannst das Dreieck übrigens auch als Funktionsgraph auffassen (also die Funktion schliesst mit x- und y-Achse ebendieses Dreieck ein).

Aber poste doch mal Deine Schritte!

11.09.2005, 16:51

Micha002

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also ich mach mal ab dem 2. schritt:

2.

b:c = e:d

$\begin{eqnarray*} \frac{12}{8} = \frac{e}{d} |\cdot d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \cdot d = e \end{eqnarray*}$

3.

$\begin{eqnarray*} A(d)= d(\frac{4}{3} \cdot d)= \frac{4}{3} d^{3} \end{eqnarray*}$

4.

$\begin{eqnarray*} A'(d)= 4\cdot d² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4\cdot d²=0 |-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d²=-4 |\sqrt{} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d = -2 \end{eqnarray*}$

A''(d)= 8d
A''(-2)=-16 <0 =rel. Maximum

5.

$\begin{eqnarray*} e=\frac{4}{3} \cdot (-2) = -\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= -2\cdot (-\frac{8}{3} ) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A= \frac{16}{3} \end{eqnarray*}$

11.09.2005, 17:11

Micha002

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Ach ich seh grad nen Fehler, beim Auflösen nach "d".. da hab ich |-4 genommen aber das geht ja gar nicht, da muss ja |:4 aber dann wäre d=0 das ist ja dann auch irgentwie falsch (?)

11.09.2005, 17:17

Micha002

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Oh und noch ein Fehler, bei 3. (glaub ich) das sind dann nicht 4/3d³ sondern 4/3d² oder?
Aber es würde trotzdem, wenn ich die 1.Ableitung = 0 setzte kommt für d immer 0 raus verwirrt

verwirrt

11.09.2005, 18:30

Lazarus

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der fehler ist schon viel früher passiert: d(4/3*d) = 4/3d^2 und nicht 4/3d^3 !

ausserdem wundert ich der ansatz über den strahlensatz!
warum müssen die rechtecks seiten genauso ein verhältnis haben wie die dreiecksseiten ?

mach dir ne skizze und produzier dir selbst ein gegenbeispiel (wie wäre es mit einem quadrat ?)

zu den rechenfehlern die beim lösen passiert sind will ich jetzt mal garnicht reden ..

servus

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11.09.2005, 19:02

Micha002

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hmm wir müssen auf jeden Fall mit dem Strahlensatz arbeiten, aber ich bekomm den Ansatz nicht hin, vielleicht so: $\begin{eqnarray*} \frac{e}{e} = \frac{b}{b+d} \end{eqnarray*}$

ansonsten wäre es nett wenn mir jmd den Anstatz posten könnte, damit ich dann den Rest selber machen kann traurig

traurig

unglücklich

11.09.2005, 19:27

Poff

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RE: Frage zu Extremwertaufgabe

Zitat:

Original von Micha002
ich hab dann den Strahlensatz genommen wo sich folgendes zueinander verhält: $\begin{eqnarray*} \frac{12}{8} = \frac{e}{d} \end{eqnarray*}$

12/8 = e/d ist auf jeden Fall falsch. Würde das stimmen wäre nur
eine Form von Reckecken möglich, was ganz offensichtlich nicht stimmt.

in einem anderen Thread wurde das vor wenigen Tagen gerechnet ...
.

11.09.2005, 19:38

Micha002

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Ja ich hab mit dem Strahlensatz so meine Probleme, ich bekomm es einfach nicht hin, kann denn jmd den Ansatz bitte posten, ich komm sonst nicht weiter traurig

traurig

11.09.2005, 19:55

Micha002

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Obwohl moment ich hab vielleicht doch noch ne Idee, aber ich glaub trotzdem dass sie falsch ist.

Wenn es wirklich ein Quadrat ist, wie es mir nach meiner Skizze jetzt scheint, dann ist die bedingung ja gar nicht mehr: A=e mal d soll max. werden sondern:
A= d² soll max. werden.
Dann wär der strahlensatz ja:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{b}{c} = \frac{d}{d} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{b}{c} = d \end{eqnarray*}$

und dies wäre dann:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{12}{8} bzw: \frac{4}{3} = d \end{eqnarray*}$

und dass dann eingesetzt wäre:

A = $\begin{eqnarray*} (\frac{4}{3})² \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{16}{9} \end{eqnarray*}$

11.09.2005, 19:57

Poff

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Je nachdem wie deine Seiten liegen ...
(ähnliche Dreiecke suchen)

Ich hab mal e auf b und d auf c gelegt

(c-d)/e = c/b

11.09.2005, 20:14

Micha002

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@Poff: da würde aber für "d" beim Auflösen auch wieder 0 rauskommen

11.09.2005, 20:32

Poff

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Nicht soviel quasseln, rechnen ! ..., das passt schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.09.2005, 21:30

MrPSI

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Hi,
ich würd hier mal gern meine Kenntnisse der Differentialrechnung überprüfen. Stimmt es, dass die Ableitung von A so aussieht, wenn man mit Poff's Seitenverhältnis weiterrechnet:
@threadsteller: bitte ignoriere meinen Rechenweg um deines Lernerfolges Willen!

$\begin{eqnarray*} A=d*e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=d*\frac{(c-d)*b}{c} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=\frac{b}{c}*(c-d)*d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=\frac{b}{c}*(d*c-d^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=b*d^1-\frac{b*d^2}{c} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A'=b-\frac{2*b*d}{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'=b(1-2*d/c) \end{eqnarray*}$

11.09.2005, 21:44

Micha002

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I'm Sorry ich bekomm es nicht raus unglücklich

unglücklich

11.09.2005, 23:31

MrPSI

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was meinst du damit?

hast du etwa nicht mit Poffs Seitenverhältnissen weitergerechnet(z.B. wegen anderer Bezeichungen etc.). Dann ist verständlich, dass du dann eine andere Formel bzw. anderes "d" herausbekommst.

12.09.2005, 07:05

Micha002

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doch hab ich, allerdings hab ich ja auch schon 2 Zahlen, die ich einsetzten konnte, aber es kommt immer d = 0 raus

12.09.2005, 11:37

MrPSI

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Poste doch einmal deine Formel und auch deinen Rechenweg, so dass man nach Fehlern suchen kann.

12.09.2005, 12:07

Frooke

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Zitat:

Original von Frooke
Du kannst das Dreieck übrigens auch als Funktionsgraph auffassen (also die Funktion schliesst mit x- und y-Achse ebendieses Dreieck ein).

Versuch es jetzt doch mal so:

Du suchst eine affine Funktion, also:
$\begin{eqnarray*} f(x):=ax+b \end{eqnarray*}$
b ist die Länge der einen Kathete und c die Länge der Anderen (welche Du wählst ist egal) und a musst Du so wählen, dass f(c)=0. Dann hast Du die Funktion und musst nur noch das Minimum dieser Zielfunktion finden:
$\begin{eqnarray*} \mathrm{Z}(x)=x \cdot f(x) \end{eqnarray*}$

12.09.2005, 17:04

Micha002

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Wir sollen aber mit dem Strahlensatz rechnen

12.09.2005, 18:08

MrPSI

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ja dann poste doch mal deine Rechenweg samt Lösung, so dass wir dir bei der Fehlerkorrektur behilflich sein können.

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