vollständige induktion mit potenz im nenner

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11.09.2005, 17:10	sandra_s	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige induktion mit potenz im nenner hallo zusammen, erstmal bin ich von eurem forum begeistert und hab mich gleich mal registriert - eure beiträge haben mir schon sehr weitergeholfen... doch jetzt steh ich mal so richtig an. hab da eine vollständige induktion zu machen, die ich einfach nicht rausbekomm. $\begin{eqnarray} $2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^{2}}$ \end{eqnarray}$ meine bisherigen versuche $\begin{eqnarray} $=\frac{n}{n(n+1)^{2}} + \frac{(n+1)^{2}}{n(n+1)^{2}}$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $=\frac{n}{n(n+1)^{2}} + \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ bin ich da auf dem "holzweg" oder kann mir jemand sagen, wo mein denkfehler ist? vielen dank sandra_s
11.09.2005, 17:16	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
willkommen im Forum.Vielleicht sagst du uns,was du beweisen willst?
11.09.2005, 17:17	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
was sollst du überhaupt mit induktion zeigen? soll das der induktionsschritt sein, oder was? kannst du mal vorne anfangen?
11.09.2005, 17:31	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Vermutung, was sandra_s beweisen will: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n ~ \frac{1}{k^2} \leq 2-\frac{1}{n} \end{eqnarray}$
11.09.2005, 17:35	sandra_s	Auf diesen Beitrag antworten »
Arthur Dent - ich staune, du hast vollkommen recht. ihr seid spitze
11.09.2005, 17:52	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
dein Beweis oben ist etwas konfus.Ich würde so rangehen.Fangen wir beim Induktionsschritt an: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}~ \frac{1}{k^2} \leq 2-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ jetzt ziehe bei der Summe den letzten Summanden raus und wende die Induktionsannahme an.Dann sollte das auch schon bewiesen sein,mit der richtigen Argumentation.
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11.09.2005, 18:20	sandra_s	Auf diesen Beitrag antworten »
mir ist schon klar, was herauskommen sollte, ich hab nur das problem, beim umformen, damit ich dahin komme... mir fehlen die schritte von $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k ^{2} } \leq 2- \frac {1}{n} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{k ^{2} } \leq 2- \frac {1}{n+1} \end{eqnarray}$
11.09.2005, 18:24	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufspalten und IV anwenden: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{k^2}=\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\leq 2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray}$ Das sollst du $\begin{eqnarray} \leq 2-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ bekommen, d. h. du musst nur noch $\begin{eqnarray} -\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}\leq -\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ beweisen. Gruß MSS
11.09.2005, 19:00	sandra_s	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank, diese schritte sind mir jetzt klar,... ... leider tut sich mir schon das nächste problem auf - steh wohl heute ganz auf der leitung: schaff den letzten beweis nicht - könnte mir jemand schritt für schritt helfen? ist mir echt peinlich danke eure sandra
11.09.2005, 19:03	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
bring mal alles auf den hauptnenner dann ist der rest sehr leicht, weil sich fast alles weghebt in der ungleichung
11.09.2005, 19:19	sandra_s	Auf diesen Beitrag antworten »
das heißt also dann, dass das so stimmt? $\begin{eqnarray} - \frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^{2}}\leq - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ das ganze mal n und mal $\begin{eqnarray} (n+1)^{2} \end{eqnarray}$ dann bin ich auf $\begin{eqnarray} -(n+1)^{2} +n \leq -n(n+1) \end{eqnarray}$ dann auf $\begin{eqnarray} -n^{2} -n -1 \leq -n^{2}-n \end{eqnarray}$ und -1 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 0 ist der beweis???
11.09.2005, 19:53	n!	Auf diesen Beitrag antworten »

11.09.2005, 20:01	sandra_s	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen, vielen herzlichen dank - bis bald ... eure sandra

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