vollständige induktion

11.09.2005, 21:40

iso1

vollständige induktion

bei dir aufgabe habe ich gar nichts verstanden unklar,und für mich auf keinen fall verständlich obwohl ich auch ein ganz kleines mathegenie bin neben euch Rock

3.Aufgabe

Beweise die Formel $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1}~i \cdot(i+2)=\frac{n(n-1)(2n+5)}{6} \end{eqnarray*}$ mittels vollständiger Induktion , was ???nix verstanden Hammer

hilfe brauch ich jungs smile

will mir keiner helfen

edit: Doppelpost zusammengefügt, unterlasse solche dreisten Pushposts - und das nach nur 6 Minuten! Wir wäre es mit etwas Geduld? Wenn du nach 6 Minuten schon so drängelst, dann würde ich auf deine Frage einfach mal mit Nein antworten! (MSS)

11.09.2005, 21:47

adler456

Auf diesen Beitrag antworten »

schreib doch erstmal was für gedanken du dir dabei gemacht hast

11.09.2005, 21:48

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nicht was völlständiger induktion heißt ?

11.09.2005, 21:50

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast du ein Problem. Hast du im Unterricht gefehlt?

Workshop -- Vollständige Induktion

11.09.2005, 22:01

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab gemacht danke sqrt2 smile

nun ich komme wieder nicht weiter,ihr könnt ihr mir schnell sehr gute tips geben smile

11.09.2005, 22:06

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, zeig mal deinen Ansatz.

11.09.2005, 22:34

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

mein ansatz wäre :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~{i \cdot (i+2)}+(n-1) \end{eqnarray*}$

richtig ????wie würde es denn weiter gehen?

edit: Doppelpost zusammengefügt, keine Pushposts!! Siehe oben. (MSS)

11.09.2005, 22:41

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe einen Term. Ich sehe nicht, wo da dein Ansatz liegt. Du solltest dir wohl das Verfahren der Vollständigen Induktion noch einmal zu Gemüte führen: http://de.wikipedia.org/wiki/Induktion_(Mathematik).

11.09.2005, 22:46

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast die summe falsch gebildet.
aus $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1} ~i \cdot(i+2) \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} ~i \cdot(i+2) \end{eqnarray*}$ dann hast du das folgeglied bestimmt, ziehst dass dann wieder raus und hängst es hinten an: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1} ~i \cdot(i+2)) + (n \cdot (n+2) \end{eqnarray*}$

ausserdem muss der index immernoch i heissen.

so und nun zeigst du das das was du beweisen willst, nämlich das $\begin{eqnarray*} ...=\frac{n(n-1)(2n+5)}{6} \end{eqnarray*}$ ist, gilt.

hau rein Augenzwinkern

11.09.2005, 22:48

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du so weit bist, wie Lazarus es gepostet hat, kannst du direkt die Induktionsvoraussetzung anwenden und musst dann nur noch brachial ausmultiplizieren, dann bist du schon fertig.

11.09.2005, 22:53

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich kann mich nur sqrt(2) anschliessen: das ist kein ansatz was du da geschireben hast, auch von mir war das kein ansatz, lediglich das hinwerfen von paar brocken.
ich hoffe du hast das bei dir auf einem blatt papier säuberlich ausgearbeitet, denn ein paar terme machen keinen ansatz.

wenn du nicht verstanden hast was ich da grad geschrieben hab, dann rühr dich, denn es sieht wirklich so aus als hättest du das prinzip nicht ganz verstanden ..

servus

11.09.2005, 22:54

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

eins habe ich nicht verstanden,warum ist das folgeglied n mal (n+2) und nicht (n-1)mal(n-1+2) ???????

11.09.2005, 23:00

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

stell dir die summe mal ausgeschrieben vor.
also das da steht 1(1+2)+2(2+2)+3(3+2)+...+(n-2)*(n-2+2)+(n-1)*(n-1+2)+n(n+2).
so und nun fassen wirs neu zusammen, und da wir ja durch die IV schon bis n-1 gezeigt haben sind wir klug und fassen nur bis n-1 zusammen. was dann noch dasteht ist klar, das folgeglied n(n+2).

mit anderen worten, du setzt einfach mit dem neuen endglied an und nicht mit dem alten (darum oben auch die bildliche erklärung warum das so ist.)

viel erfolg

11.09.2005, 23:01

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit $\begin{eqnarray*} k(i):=i(i+2) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}k(i)=k(n)+\sum_{i=1}^{n-1}k(i)=n(n+2)+\sum_{i=1}^{n-1}i(i+2) \end{eqnarray*}$

11.09.2005, 23:02

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist mir eben klar geworden ich weiß was ein ansatz ist ,den term mit diesem aufgabenstellung mit dem term denn ich habe vergleichen smile

oder besser gesagt darauf kommen,aber ich komm nicht smile

der bruch 6 nervt mich kannst mir ein weiteren tipp geben smile

11.09.2005, 23:04

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

sei mal nicht so hirnfaul!

alles was du brauchst hab sqrt2 oder ich schon gesagt, denk auch mal selber ein bisschen.

hier gibts keine komplettlösungen.

11.09.2005, 23:04

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Multiplizier den ganzen Term mit 6, dann isser wech...

Alles schwer zu sagen, wenn du uns nicht zeigst, was da auf dem Blatt Papier, das du da vor dir liegen hast, steht.

11.09.2005, 23:18

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1}~{i\cdot(i+2)}= \frac{n(n-1)(2n+5}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6\sum_{i=1}^{n-1}~{i\cdot(i+2)} =n(n-1)(2n+5) \end{eqnarray*}$
wie gehts jetzt weiter

11.09.2005, 23:30

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Bisher hast du noch nichts getan. Keine Induktionsverankerung, kein Induktionsschritt.

Du wirst nicht darum kommen, dir die Vollständige Induktion noch einmal genau anzusehen. In diesem Thread steht die Lösung schon fast, wenn du das Verfahren anwenden könntest, hättest du die Lösung schon gefunden.

12.09.2005, 00:36

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir dann wenigsten sagen welche stelle ich bei wikipedia lesen muss smile

12.09.2005, 08:12

Auf diesen Beitrag antworten »

lese dir am besten das hier komplett durch:

http://de.wikipedia.org/wiki/Induktion_%28Mathematik%29

und wenn du noch mehr Beispiele brauchst,dann siehe im Analysis Verzeichnis ganz oben im Analysis Forum

12.09.2005, 09:36

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

so am früh morgen habe ich mein cafe genommen und lege nun los und brauche wieder eure hilfe smile

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1}~{i(i+2)}= \frac{n(n-1)(2n+5)}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1}~{i(i+2)}=1(3)\cdot+2\cdot(4).....+n\cdot (n+2) \end{eqnarray*}$
Einsetzung von k:
$\begin{eqnarray*} i\cdot (i+2)=k(k+2)=k²+2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1}~{k(k+2)}=\sum_{k=1}^{n}~{k(k+2)}+n(n+2) \end{eqnarray*}$
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}~{k}=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
Einsetzen in dem Term->
$\begin{eqnarray*} [\frac{n(n+2)}{2}]²+2[\frac{n(n+2)}{2}]+n(n+2) \end{eqnarray*}$
soweit bin ich gekommen und ich seh schon dass es nicht stimmen denn der bewiesener term hat ein bruch und ein negativen Wert,so jetzt brauche eure hilfe drigend,ich hab mich dadurch gequält und bitte euch mir zu helfen

12.09.2005, 10:04

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, nein:

Zitat:

Original von iso1
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1}~{k(k+2)}=\sum_{k=1}^{n}~{k(k+2)}+n(n+2) \end{eqnarray*}$

Gegenüber

Zitat:

Original von sqrt(2)
Mit $\begin{eqnarray*} k(i):=i(i+2) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}k(i)=k(n)+\sum_{i=1}^{n-1}k(i)=n(n+2)+\sum_{i=1}^{n-1}i(i+2) \end{eqnarray*}$

war das jetzt eindeutig ein Schritt rückwärts: Du hast die oberen Summenindizes auf beiden Seiten vertauscht! Das Glied k(n) steht jetzt links gar nicht, dafür rechts doppelt bei dir.

12.09.2005, 10:06

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iso1
[...]

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1}~{i(i+2)}=1(3)\cdot+2\cdot(4).....+n\cdot (n+2) \end{eqnarray*}$ Falsch, da das letzte glied n-1 * (n-1+2) sein müsste.
Einsetzung von k: <- warum ? lass doch i stehn is doch egal Augenzwinkern

[...]
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1}~{k(k+2)}=\sum_{k=1}^{n}~{k(k+2)}+n(n+2) \end{eqnarray*}$ <- Falsch.les bitte nochmal den vorvorletzten post von mir!
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}~{k}=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ das brint dir nichts.. aber es stimmt das gilt (will aber auch erstmal bewiesen sein), nur kannst du das hier nicht anwenden
[...]rest schenk ich mir, da schon davor genug fehler gemacht wurden.

ok, hab mal meine kommentare dazu geschrieben.

weisst du wo deine fehler liegen ?

servus

12.09.2005, 10:16

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~{k(i)}=k(n) +\sum_{i=1}^{n-1}~k(i)=n(n+2)+ \sum_{i=1}^{n-1}~{i(i+2)} \end{eqnarray*}$
wäre jetzt der nächste schritt :
$\begin{eqnarray*} n(n+2)+(n-1)(n-1+2)=n(n+2)+(n-1)(n+1) \end{eqnarray*}$
und dann wie gehts weiter ?ich hab ab hier kein plan mehr ?oder habe ich wieder ein falschen schritt gemacht

@lazarus fehler eingesehen smile

12.09.2005, 10:19

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} n(n+2)+ \sum_{i=1}^{n-1}~{i(i+2)} \neq n(n+2)+(n-1)(n+1) \end{eqnarray*}$

übersicht verloren ?
*gg*
mit anderen worten, das summenzeichen ist ja eine abkürzung für eine ganz lange summe (n mal) und nicht nur für den letzten summanden.

lass dir zeit und geh das ganze in aller ruhe an, mach deinen kopf frei und versuch nachzuvollziehen 1) was du bisher gemacht hast 2) wo du hinwillst 3) was dir dazu noch fehlt.

servus

12.09.2005, 10:23

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1}~{i(i+2)} \end{eqnarray*}$ wie kann ich dass denn umformen ich hab schon den ganzen mein kopf gequält gib mir ein seeeeeeeeeeeeeeeeeehr guten tippwenn du mir nicht die lösung veraten willst,ich muss das blatt morgen abgeben und ich hab den ganzen wochenende gelernt ich will wenigstens eine 2 haben,für die mühe

12.09.2005, 10:30

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist nicht, dass dir hier keiner Hinweise geben will - die nötigen Hinweise hast du alle schon mehrfach bekommen. Das Problem ist vielmehr, dass du das Beweisprinzip der Vollständigen Induktion bisher überhaupt nicht verstanden zu haben scheinst. Wie sqrt(2) oben schon angemerkt hat: Hast du mehrere Wochen in der Schule gefehlt?

12.09.2005, 10:33

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

ja habe ich ich hatte eine virusinfektion ,muss mann immer seine persönlichkeit erzählen,ich hab auch monotie versäumt,könnt ihr mir nicht weiterhelfen,ich komme wirklich nicht mehr klar ?

12.09.2005, 10:36

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

mh, ich weiss echt nicht was ich dir noch für weiter hinweise geben kann. hab bisher schon alles mehrfach gesagt.

aber gut, noch ein versuch.

wenn du so weit bist, das du das wieder abgespalten hast, dann errinnerst du dich an den anfang:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1}~i \cdot(i+2)=\frac{n(n-1)(2n+5)}{6} \end{eqnarray*}$

und jetzt müsstest du doch wissen durch was du deinen aktuellen ausdruck ersetzten kannst oder nicht ?

irgnedwie scheinst du das prinzip der vollständigen induktion immernoch nicht dir angeeignet zu haben.

doch leider wirst du nicht umhinkommen die mehrfach angeführten links mal durchzulesen und dich mit den inhalten eben dieser auseinandersetzten.

servus

12.09.2005, 10:46

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1}~{i(i+2)}+n(n+2)=\frac{n(n-1)(2n-5)}{6} \end{eqnarray*}$ und wie geht dann weiter ,ich weiß nicht was ich mit i(i+2) anfagen soll

12.09.2005, 10:57

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist wieder falsch. $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1}~i(i+2) = \frac{n(n-1)(2n+5)}{6} \end{eqnarray*}$ ist die Induktionsvoraussetzung, da kannst du nicht einfach links n(n+2) dazuaddieren und rechts alles so lassen, wie es ist.

------------------------------------------------------------

Setz dich doch wirklich mal hin, und versuche die Beispiele auf

http://de.wikipedia.org/wiki/Induktion_%28Mathematik%29

(z.B. im Abschnitt "Anderes Beispiel: Summe der ungeraden Zahlen") wirklich zu verstehen. Dann sollte dir auch klar sein, wie du hier vorzugehen hast und was du dann im sogenannten Induktionsschluss $\begin{eqnarray*} n\to (n+1) \end{eqnarray*}$ hier nachzuweisen hast.

Momentan stocherst du hier nur im Nebel und rätst mal dies und mal das. So geht das nicht. unglücklich

12.09.2005, 11:21

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständige induktion
Titel geändert

einfach mal link zum boardprinzip: hier

12.09.2005, 18:29

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habs mir durchgelesen ,dieses prinzip "Anderes Beispiel: Summe der ungeraden Zahlen"ich weiß nicht wie ich es anwenden muss,deshalb hab ich mich auch hier angemeldet damit leute WIE Ihr mir helfen könnt,oder wenigsten ein guten SCHRITT macht und ich dann lösen kann!DANKE

-------------------------------------------------------------

will mir keiner hier helfen oder was

edit (AD): Keine Pushposts!!!

13.09.2005, 15:55

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben dir reichlich Hinweise und Literaturtipps gegeben, damit du überhaupt erstmal das Grundprinzip der vollständigen Induktion verstehst. Diese Hinweise hast du alle nicht angenommen, stattdessen fängst du hier an, im Großbuchstaben-Stil rumzumotzen ("leute WIE Ihr", "wenigsten ein guten SCHRITT", "DANKE").

Dir kann wahrscheinlich nur ein Pädagoge für schwierige Fälle helfen. Vielleicht kommt ja einer vorbei - bis dahin wirst du dich wohl gedulden müssen.

13.09.2005, 20:24

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

anstadt dir mühe zu geben irgendeine ausrede zu schreiben könntest du mir paar schritte zur vollständigen induktion schreiben,naja danke dass du sehr nett bist,hast bestimmt auch sicherliche viele freunde ,wegen deines liebevollen ,symphatischen Charakter

jungs wollt ihr mir nicht helfen oder was?

man tut mir leid aber,ich kann irgendwie an dieser aufgabe nicht anwenden,weil ich nicht so klug bin wie ihr,ich weiß nicht wie ich n und n+1 einsetzen soll,man hilft mir bitte

edit: Doppelpost zusammengefügt, unterlasse solche Pushposts!!!!! (MSS)

13.09.2005, 20:42

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iso1
jungs wollt ihr mir nicht helfen oder was?

Du willst doch anscheinend gar keine Hilfe. Das hast du in den letzten paar Minuten gleich in dreifacher Ausführung bewiesen.

13.09.2005, 20:48

iso1

Auf diesen Beitrag antworten »

ICh brauche hilfe besser meine junge ???

13.09.2005, 20:55

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Es geht nicht darum, dass du uns bittest (was du sowieso nicht getan hast und durch den Nachsatz dann wohl eher auch das Gegenteil).

Es geht darum, dass du

Eigeninitiative zeigst,
nicht beleidigend bist und
bereit bist, den Umgang mit dem Board zu lernen (siehe Pushposts).

Ich denke, es ist symptomatisch, dass ich nicht das Gefühl habe, meine Zeit beim Schreiben dieses Beitrags sinnvoll investiert zu haben.

13.09.2005, 23:57

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche es nochmal und schreibe das Beispiel von wikipedia mit eigenen Worten ab.

Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
Vollständige Induktion läuft immer in 3 Schritten ab. Induktionsanfang, Induktionsannahme und Induktionsschluss.

Beim Induktionsanfang prüfst du nach, ob deine Behauptung für einen ganz bestimmten Anfangswert (z.B. n=1) richtig ist. Wenn du hier für n=1 einsetzt, hast du auf der linken Seite 1 und auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} \frac{1(1+1)}{2}=1 \end{eqnarray*}$ . Also stimmt deine Behauptung für n=1

In der Induktionsannahme nimmst du an, dass die Behauptung für ein festes (aber beliebiges) $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt. Ein solches k existiert auf alle Fälle. Das hast du beim Induktionsanfang festgestellt. In diesem Schritt wird nicht viel gerechnet, sondern einfach nur mein Satz hier abgeschrieben, wobei es sinnvoll ist, die Behauptung einzusetzen.

Nun kommt der letzte entscheidende Moment, der Induktionsschluss. Du zeigst, dass die Behauptung für k+1 wahr ist, und zwar unter der Voraussetzung, dass sie für k wahr ist.

Du sollst also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 1+2+\ldots + k + (k+1) \end{eqnarray*}$ mit der Induktionsannahme solange umformen, bis $\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)(k+1+1)}{2} \end{eqnarray*}$ dasteht. Das kommt raus, wenn du oben rechts n=(k+1) setzt.

Im ersten Ausdruck findest du den Teil $\begin{eqnarray*} 1+2+\ldots+k \end{eqnarray*}$ , das ist nach Annahme $\begin{eqnarray*} \frac{k(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$ . Das setzt du jetzt ein und erhälst folgendes:

$\begin{eqnarray*} 1+2+\ldots + k +(k+1)= \frac{k(k+1)}{2}+(k+1) \end{eqnarray*}$ . Das formst du jetzt weiter um zu $\begin{eqnarray*} =\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+1+1)}{2} \end{eqnarray*}$ . Und damit hast du gezeigt, dass unter der Voraussetzung, dass die Behauptung für ein k wahr ist, die Behauptung für (k+1) gilt.

Und was heißt das im Endeffekt? Du weißt, dass die Behauptung für n=1 wahr ist. Im Induktionsschluss hast du gezeigt, dass sie damit automatisch für n=2 wahr ist. Und wenn sie für n=2 wahr ist, ist sie auch automatisch für n=3 wahr, usw.

Ist es jetzt klar, was zu tun ist?

Neue Frage »

Antworten »

vollständige induktion

Verwandte Themen