L1 Norm

12.09.2005, 00:28

Ohmeingott

L1 Norm

Ich blick mal wieder was nicht.

Also es geht um die L1-Norm, hier kurz die Defninition:

Es sei f:[a,b]--->IR eine integrierbare Funktion. Man definiert dann die L1 Norm von f als $\begin{eqnarray*} ||f||_1:=\int_{b}^{a}~|f(x)|~dx \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Dann gehts weiter im Text....

Hier einfaches Beispiel: Es sei f:[-1,1]---->IR durch f(x)=x^n definiert wobei n irgendeine natürliche Zahl ist. Dann hat $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~x^n~dx \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit davon ob n gerade oder ungerade ist, den Wert 2/(n+1) oder 0, die L1 Norm von f ist aber 2/(n+1) für alle n.

Das versteh ich nicht ganz, wenn man den Wert 0 erhält kann man doch daraus nicht einfach ein 2/n+1 machen, oder? Oder erhält man den Wert 0 nur dann wenn man nicht beachtet dass die Funktion das Vorzeichen wechselt? Muss man es überhaupt beachten wenn die Funktion das Vorzeichen wechselt? Oder sagt man das Integral von -1 bis 1 von x ist 0?

12.09.2005, 02:19

Mathespezialschüler

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Ja, die 0 erhält man nur, wenn man die Vorzeichen der Funktion beachtet, den Betrag also weglässt. Hier muss man aber gerade den Betrag beachten und

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1~|x^n|~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

berechnen und nicht

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1~x^n~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

12.09.2005, 11:57

JochenX

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noch als nachtrag: sonst wäre es keine norm!

für eine norm gilt doch:
||x||>=0 und ||x||=0 <=> x=0

mfg jochen

12.09.2005, 18:32

Elfachtundachtzignull

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Zitat:

Original von LOED
noch als nachtrag: sonst wäre es keine norm!

für eine norm gilt doch:
||x||>=0 und ||x||=0 <=> x=0

mfg jochen

Die L1 Norm ist sowieso keine Norm, da aus ||f||_1=0 nicht folgt, dass f die Nullfunktion ist.

Beispiel: f sei die Abbildung für die gilt, f(x)=0 für alle x außer für x=2 an dieser Stelle definieren wir f(2)=1

Aber eine Frage hab ich auch noch: Wann muss man denn die Vorzeichenwechsel beim Integrieren berücksichtigen, und wann muss man die Beträge addieren? Gibts da ne Konvention oder hängt das immer von der Fragestellung ab?

12.09.2005, 18:35

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Zitat:

Original von Elfachtundachtzignull
Die L1 Norm ist sowieso keine Norm, da aus ||f||_1=0 nicht folgt, dass f die Nullfunktion ist.

Jein - kommt drauf an, auf welchem Raum!

12.09.2005, 19:30

JochenX

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Zitat:

Original von Elfachtundachtzignull
Aber eine Frage hab ich auch noch: Wann muss man denn die Vorzeichenwechsel beim Integrieren berücksichtigen, und wann muss man die Beträge addieren? Gibts da ne Konvention oder hängt das immer von der Fragestellung ab?

integral einfach berechnen gibt den orientierten flächeninhalt, das integral
abschnittsweise von NST zu NST integrieren und beträge addieren gibt den flächeninhalt (positiv!), den die kurve mit der x-achse begrenzt

12.09.2005, 20:47

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Elfachtundachtzignull
Die L1 Norm ist sowieso keine Norm, da aus ||f||_1=0 nicht folgt, dass f die Nullfunktion ist.

Wie Arthur schon sagte: Wahrscheinlich war oben wohl doch der Vektorraum aller stetigen Funktionen gemeint.
Und zu der anderen Frage: Guck mal ganz in diesem Post ganz unten bei Flächeninhaltsfunktion.

Gruß MSS

12.09.2005, 21:39

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Danke MSS, aber ich dachte eigentlich eher an den Faktorraum $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^1 \end{eqnarray*}$ , auf letzteren bezieht sich ganz offenbar Elfachtundachtzignull in seiner Argumentation. Details zu den feinen Unterschieden gibt es hier

http://de.wikipedia.org/wiki/Lp-Raum

Aber Warnung: Ohne grundlegende Kenntnisse in Maßtheorie ist das nicht zu verstehen.

12.09.2005, 22:02

Mathespezialschüler

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Ok, Arthur! Hammer

Zitat:

Original von Arthur Dent
Aber Warnung: Ohne grundlegende Kenntnisse in Maßtheorie ist das nicht zu verstehen.

Deswegen hab ich's auh sofort nach dem Öffnen wieder geschlossen. Augenzwinkern

Allerdings ist natürlich die entscheidende Frage, ob es hier um R- oder L-Integrierbarkeit geht.

Gruß MSS

12.09.2005, 22:06

papahuhn

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Elfachtundachtzignull
Die L1 Norm ist sowieso keine Norm, da aus ||f||_1=0 nicht folgt, dass f die Nullfunktion ist.

Wäre das neutrale Element des Vektorraums aller stetigen Funktionen nicht auch die Nullfunktion?

12.09.2005, 22:17

Mathespezialschüler

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Ja, aber für den Vektorraum der integrierbaren Funktionen hat Elfachtundachtzignull ja schon ein Gegenbeispiel gegeben, was beweist, dass wir keinen normierten Raum vorliegen haben. Beim Vektorraum der stetigen Funktionen greift dieses nicht mehr.
Bei beiden ist der neutrale Vektor natürlich die Nullfunktion, allerdings hat das jetzt eher weniger mit der obigen Diskussion zu tun. Soll heißen: Warum denkst du, das sei ein Widerspruch?

Gruß MSS

12.09.2005, 22:35

papahuhn

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Folgender Argumentationsstrang:
11880: $\begin{eqnarray*} {|f|}_1 = 0 \not \Rightarrow f = 0 \end{eqnarray*}$
Arthur: Kommt auf den Vektorraum an.
MSS: "Wie Arthur sagte: Wahrscheinlich gehts um VR aller stetigen Funktionen"

Da du auf Arthur angespielt hast, habe ich es so verstanden, dass du meinst, die Folgerung gelte doch im VR aller stetigen Funktionen. Aber in dem Raum ist das neutrale Element auch die Nullfunktion, was die Folgerung falsch machen würde.

12.09.2005, 22:40

Mathespezialschüler

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Ich weiß zwar noch nicht 100%-ig, was du meinst, aber das wird dir hoffentlich weiterhelfen:
Im VR aller integrierbaren Funktionen gilt: $\begin{eqnarray*} \|f\|_1=0\not\Rightarrow f=0 \end{eqnarray*}$ .

Im VR aller stetigen Funktionen gilt aber doch: $\begin{eqnarray*} \|f\|_1=0\Rightarrow f=0 \end{eqnarray*}$ !!

Gruß MSS

12.09.2005, 23:06

papahuhn

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich weiß zwar noch nicht 100%-ig, was du meinst, aber das wird dir hoffentlich weiterhelfen:
Im VR aller integrierbaren Funktionen gilt: $\begin{eqnarray*} \|f\|_1=0\not\Rightarrow f=0 \end{eqnarray*}$ .

Im VR aller stetigen Funktionen gilt aber doch: $\begin{eqnarray*} \|f\|_1=0\Rightarrow f=0 \end{eqnarray*}$ !!

Gruß MSS

Ja, genau das meinte ich. Warum gilt die Folgerung?
Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}x+2 & x < -2 \\ 0 & -2 \leq x \leq 2 \\ x-2 & x > 2\end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann ist auch $\begin{eqnarray*} {|f|}_1 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Edit:
Hammer

Die Funktionen sind ja auf einem Intervall definiert, und das Integral geht ja komplett drüber. Ich hatte die Norm die ganze Zeit als Integral von -1 bis 1 im Kopf.

13.09.2005, 15:22

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von papahuhn
Edit:
Hammer

Die Funktionen sind ja auf einem Intervall definiert, und das Integral geht ja komplett drüber. Ich hatte die Norm die ganze Zeit als Integral von -1 bis 1 im Kopf.

Ich verstehe ich zwar nicht ganz, was du meinst, aber wenn dMn alles geklärt ist, dann ist ja ok. Augenzwinkern

Gruß MSS

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