Ungleichung ( Zeigen/Beweisen )

12.09.2005, 15:19	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung ( Zeigen/Beweisen ) Ich soll bei folgender Ungleichung erst zeigen, für welche $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ sie gültig ist und anschließend per Induktion beweisen. $\begin{eqnarray} 3^{n}-1 \leq (n+1)! \end{eqnarray}$ Die Ungleichung ist gültig für $\begin{eqnarray} 0\leq n\leq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n\geq 4 \end{eqnarray}$ Jetzt der Beweis per Induktion: Induktionvoraussetzung: $\begin{eqnarray} 3^{n}-1 \leq (n+1)! \end{eqnarray}$ Induktionsschluss : $\begin{eqnarray} 3^{n+1}-1 \leq (n+2)! \end{eqnarray}$ Rechnung: $\begin{eqnarray} 3^{n}+3^{n}-1\leq 3^{n}+(n+1)!\leq(n+1)!+(n+1)!\leq2(n+1)!\leq(n+1)!(n+2) = (n+2)! \end{eqnarray}$ Was ich noch per Induktion beweisen muss, ist ja , dass $\begin{eqnarray} 3^{n} \leq (n+1)! \end{eqnarray}$ , oder nicht ? Dies habe ich ja in dem ersten Beweis vorausgesetzt . Und diese Gleichung gilt ja erst ab $\begin{eqnarray} n\geq 4 \end{eqnarray}$ Induktionvoraussetzung: $\begin{eqnarray} 3^{n} \leq (n+1)! \end{eqnarray}$ Induktionsschluss : $\begin{eqnarray} 3^{n+1} \leq (n+2)! \end{eqnarray}$ Rechnung : $\begin{eqnarray} 3^{n}+3^{n}\leq(n+1)!+(n+1)!\leq2(n+1)!\leq(n+1)!(n+2)=(n+2)! \end{eqnarray}$ Dabei habe ich aber ein paar Fragen. Wie bekomme ich explizit die Lösungsmenge raus ? Meine Methode war , erstmal zu schauen , ob die Formel für n=0 wahr ist. Anschließend habe ich gesehen, dass sie für n=2 und n=3 falsch, aber für n=4 wieder wahr ist. Ist die Vorgehensweise für die Ungleichung soweit ok ?
12.09.2005, 15:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du deine Beweise mal genau durchleuchtest, dann erkennst du folgendes: Du hast ganz zuletzt $\begin{eqnarray} (n+1)!\geq 3^n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 4 \end{eqnarray}$ nachgewiesen. Wegen $\begin{eqnarray} 3^n\geq 3^n-1 \end{eqnarray}$ gilt für diese $\begin{eqnarray} n\geq 4 \end{eqnarray}$ also erst recht $\begin{eqnarray} (n+1)!\geq 3^n-1 \end{eqnarray}$ , also kannst du deinen ersten Induktionsbeweis ersatzlos streichen - er ist schlicht überflüssig.
12.09.2005, 15:34	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist , wenn man vor lauter Rechnerei die Zusammenhänge nicht mehr sieht . Danke für die Tipps !
12.09.2005, 15:35	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich lege Einspruch ein! Was soll denn das $\begin{eqnarray} 3^n+3^n \end{eqnarray}$ da? Wir müssen doch bei $\begin{eqnarray} 3\cdot 3^n=3^n+3^n+3^n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 3\cdot 3^n-1=3^n+3^n+3^n-1 \end{eqnarray}$ anfangen! Gruß MSS
12.09.2005, 15:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja, ein dicker Fehler. Ist aber leicht korrigierbar.
12.09.2005, 18:17	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab es oben mal korrigiert. Stimmt die Rechnung denn soweit noch ?
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12.09.2005, 18:45	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ja - aber schreib es das nächste Mal in einem neuen Beitrag. Oder lasse im alten Beitrag einen Hinweis, was vorher da falsch stand: Sonst fragen sich spätere Leser beim Durchsehen des Threads, wenn sie auf den Beitrag von MSS stoßen: "Hä? Was soll denn die Bemerkung?" Wenn andere bereits darauf Bezug genommen haben, sollte man zu seinen Fehlern stehen.
12.09.2005, 18:52	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Hier mal das korrigierte jetzt : 1.Rechnung : $\begin{eqnarray} 3^{n}+3^{n}+3^{n}-1\leq 3^{n}+3^{n}+(n+1)!\leq(n+1)!+(n+1)!+(n+1)! \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq3(n+1)!\leq(n+1)!(n+2) = (n+2)! \end{eqnarray}$ 2.Rechnung: $\begin{eqnarray} 3^{n}+3^{n}+3^{n}\leq(n+1)!+(n+1)!+(n+1)!\leq3(n+1)!\leq(n+1)!(n+2)=(n+2)! \end{eqnarray}$ edit von sqrt(2): Seitenbreite

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