Wieder Intervall Problem

12.09.2005, 19:11

aRo

Wieder Intervall Problem

Hallo!

Ich schildere mal eben kurz die Aufgabe, dann nenne ich ein paar Zwischenergebnisse, von denen ich glaube, dass sie richtig sind, und komme dann zum eigentlichen Problem:

Aufgabe:
Aus einem Kasten mit 3 weißen und 7 schwarzen Kugeln wird 3x eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen.

b) Erwartungswert = 0.899..........
Standardabweichung = 0.698968.......

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X (beschreibt die Anzahl der weißen Kugeln) einen Wert außerhalb des 2-sigma-Intervall annimmt?

Ja, also die c ist mein Problem.
Ich habe folgendes Intervall gebildet:
$\begin{eqnarray*} P(|x-\mu|> 2\sigma) = P(\mu + 2\sigma < x< \mu-2\sigma) = P(2.3< x< -0.5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = P(x< -0.5) - ( 1- P(x> 2.3)) = P(x< -0.5) - P(x\leq 2.3) \end{eqnarray*}$

Naja, jetzt müsste ich ja wieder auf ganze Zahlen...aber erstens ist das hier nicht so wie vorher, dass ich in gleichen Abständen hoch bzw. runter kann, und zweitens bekäme ich ja eine negative Prozentzahl raus?!

x < -0.5 kann doch gar nicht sein...

Was habe ich falsch gemacht? Mit diesen Intervallen komm ich wohl noch immer nicht ganz zu recht.

edit: vielleicht könnte ich auch einfach alle Wahrscheinlichkeiten für x > 2.3, die x annehmen kann, addieren?

gruß,
aRo

12.09.2005, 19:29

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Zitat:

Original von aRo
$\begin{eqnarray*} P(|x-\mu|> 2\sigma) = P(\mu + 2\sigma < x< \mu-2\sigma) \end{eqnarray*}$

Dein Problem hier ist nicht die Stochastik, sondern wie man Ungleichungen auflöst bzw. äquivalent umformt. Das hier ist jedenfalls falsch.

12.09.2005, 19:45

aRo

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echt?! das ist falsch verwirrt

um gottes willen...das ist natürlich jetzt ziemlich doof.

also ich mache das immer so, ich teile die Betragsstriche nach beiden Möglichkeiten auf:
$\begin{eqnarray*} x-\mu > 2\sigma \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} -x+\mu > 2\sigma \end{eqnarray*}$

dann forme ich das beides nach x um und schreibe es so schön Intervallsmäßig auf.

Was ist daran falsch? Wie macht mans richtig?

aRo

12.09.2005, 20:06

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Was falsch ist? Das kleine Wörtchen "und", es muss "oder" heißen:

$\begin{eqnarray*} |x-\mu|> 2\sigma \qquad\Longleftrightarrow\qquad \left( x-\mu > 2\sigma \quad\textbf{oder}\quad -x+\mu > 2\sigma \right) \end{eqnarray*}$

12.09.2005, 20:53

aRo

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hm..okay. versteh ich :-)

aber wie setz ich das nun anders um, als ich es schon gemacht habe?

und wo ist der unterschied zu dem hier (liegts am kleiner GLEICH?!):

$\begin{eqnarray*} P(|x-100/3| \leq c) = P(100/3-c\leq x\leq100/3+c= \end{eqnarray*}$

hmm verwirrt

aRo

12.09.2005, 21:13

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Du musst dich unbedingt mit elementaren Betragsungleichungen auseinandersetzen, da hast du Defizite. Vielleicht einfach mal auf dem Zahlenstrahl "aufmalen".

Es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} |x-\mu|< 2\sigma \quad\Longleftrightarrow\quad \left( x-\mu < 2\sigma \;\textbf{und}\; -x+\mu < 2\sigma \right) \quad\Longleftrightarrow\quad \mu-2\sigma < x < \mu+2\sigma \end{eqnarray*}$

letztere Äquivalenz gilt aber nur für $\begin{eqnarray*} \sigma>0 \end{eqnarray*}$ .

12.09.2005, 21:51

aRo

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also wenn das wirklich stimmt, was du sagst, hab ich echt ziemlich große Defizite.

Ich habs mir jetzt mal versucht aufzumalen. Aber da komm ich zu dem gleichen Ergebnis wie vorher auch.

Dann habe ich etwas bei Wikipedia nach Rechenregeln für Intervalle gesucht, aber da finde ich nicht das richtige.
Allerdings fehlt mir da wahrscheinlich auch der passende Suchbegriff.

In meinen Büchern habe ich auch nichts soweit gefunden.

Tja, somit stehe ich nun erstmal dumm da. Und weiß nicht, worauf du hinaus willst traurig

aRo

12.09.2005, 21:59

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Einfache Betragsungleichungen
Betrachten wir mal die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=|x-a|-b \end{eqnarray*}$ , als Beispiel mal a=3 und b=4:

Für welche Argumente haben wir negative Funktionswerte - das entspricht der Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x-3|<4 \end{eqnarray*}$ - und für welche Argumente haben wir positive Funktionswerte - das entspricht $\begin{eqnarray*} |x-3|>4 \end{eqnarray*}$ .

Das erste ist ein endliches Intervall, hier (-1,7). Das zweite ist die Vereinigung zweier halboffener Intervalle: (-inf,-1) sowie (7,+inf)

12.09.2005, 22:29

aRo

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ja, das hab ich dank dem anschaulichen bild verstanden.

inwiefern bringt mich das jetzt mit meinem Intervall weiter?

sorry, habe nicht mehr groß zeit nachzudenken. Muss langsam weg hier.

Danke dir schonmal für deine Hilfe! Hoffentlich kriegen wir das geregelt!

Gut Nacht,
aRo

14.09.2005, 16:27

aRo

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Was falsch ist? Das kleine Wörtchen "und", es muss "oder" heißen:

$\begin{eqnarray*} |x-\mu|> 2\sigma \qquad\Longleftrightarrow\qquad \left( x-\mu > 2\sigma \quad\textbf{oder}\quad -x+\mu > 2\sigma \right) \end{eqnarray*}$

hallo!

Ich glaube heute hat es knack gemacht! Augenzwinkern

Also:
Das Intervall lautet dann:
$\begin{eqnarray*} P(x>2\sigma + \mu \quad\textbf{oder}\quad x<\mu-2\sigma) \end{eqnarray*}$ wie mache ich das v Zeichen?

Und das ist dann:
$\begin{eqnarray*} P(x>2\sigma + \mu) + P( x<\mu-2\sigma) \end{eqnarray*}$

oder?

Gruß,
aRo

14.09.2005, 16:53

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Ja, jetzt hast du's ! Freude

P.S.: $\begin{eqnarray*} P(x>\mu+2\sigma \;\vee\; x<\mu-2\sigma) \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]P(x>\mu+2\sigma \;\vee\; x<\mu-2\sigma) [/latex]

(Die Abstände \; sind nur drin, weil ich es als etwas "eng" empfand)

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