vollständige Induktion

02.03.2008, 14:02

Galileo995703

vollständige Induktion

Hi Leute!

Ich komm bei folgender vollständigen Induktion nicht weiter:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~x^ne^{-x}~dx=n! \end{eqnarray*}$

den Induktionsanfang habe ich gut hinbekommen:

$\begin{eqnarray*} A(1):\int_{0}^{\infty}~xe^{-x}~dx=1! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [-xe^{-x}-e^{-x}]_{0}^\infty =0-(-1)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$

nur komm ich nun beim Induktionsschritt nicht weiter:

Angenommen $\begin{eqnarray*} A(k):\int_{0}^{\infty}~x^ke^{-x}~dx=k! \end{eqnarray*}$ ,

ist dann auch: $\begin{eqnarray*} A(k+1):\int_{0}^{\infty}~x^{(k+1)}e^{-x}~dx=(k+1)!=(k+1)k! \end{eqnarray*}$ richtig?

dies habe ich nun einmal durch partielle Integration integriert:

$\begin{eqnarray*} =x^{(k+1)}\cdot (-e^{-x})-\int_{0}^{\infty}~((k+1)x^k)e^{-x}~dx \end{eqnarray*}$

nur komm ich jetzt hierbei nicht mehr weiter....

danke schonmal für eure antworten!

alex

02.03.2008, 14:06

kiste

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Hallo,

bei der partiellen Integration musst du natürlich auch die Grenzen vorne einsetzen. Hinten ist dann noch das minus falsch da du wohl vergessen hast die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ zu bilden. Ansonsten bist du so gut wie fertig

02.03.2008, 14:12

Mazze

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Zitat:

nur komm ich jetzt hierbei nicht mehr weiter....

Ordentlich aufschreiben hilft. Du hast bei der partiellen Integration vergessen das es

$\begin{eqnarray*} = \left[x^{(k+1)}\cdot (-e^{-x})\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}~(-(k+1)x^k)e^{-x}~dx \end{eqnarray*}$

heisst. Zudem hast Du das Vorzeichen bei (k+1) vergessen. Jetzt musst Du nur noch linearität des Integrals und dann die IV benutzen.

02.03.2008, 14:12

Galileo995703

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also:

$\begin{eqnarray*} =[x^{(k+1)}\cdot (-e^{-x})]_{0}^\infty-\int_{0}^{\infty}~((k+1)x^k)\cdot (-e^{-x})~dx \end{eqnarray*}$

soll ich dies jetzt nochmal partiell integrieren?

02.03.2008, 14:14

Mazze

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Zitat:

soll ich dies jetzt nochmal partiell integrieren?

Hier gibt es nichts mehr partiell zu integrieren. K+1 ist ein konstanter Faktor, und das Integral ist linear.

02.03.2008, 14:16

Galileo995703

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hmm...

also kann ich ja jetzt das k+1 vor das integral ziehen, aber was sagt es mir, wenn das integral linear ist?

02.03.2008, 14:18

Mazze

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Zitat:

also kann ich ja jetzt das k+1 vor das integral ziehen, aber was sagt es mir, wenn das integral linear ist?

Du kannst das K+1 vor das Integral ziehen weil das Integral linear ist. Linearität bezüglich skalarer Multiplikation einer Funktion f und einem Faktor lambda heisst das

$\begin{eqnarray*} f(\lambda * x) = \lambda f(x) \end{eqnarray*}$

Zudem rate ich Dir das Minuszeichen auch rauszuziehen.

02.03.2008, 14:27

Galileo995703

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dann komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} =[x^{(k+1)}\cdot (-e^{-x})]_{0}^\infty +(k+1)\int_{0}^{\infty }~x^ke^{-x}~dx \end{eqnarray*}$

muss ich jetzt wieder partiell integrieren?

02.03.2008, 14:28

Mazze

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Zitat:

muss ich jetzt wieder partiell integrieren?

Nein du musst nichts mehr Integrieren. Du musst nur noch hinsehen. Rechne zunächst den Ausdruck in den eckigen Klammern aus und dann schau Dir mal ganz genau den Integralausdruck an.

02.03.2008, 14:41

Galileo995703

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somit komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} (k+1)\cdot \int_{0}^{\infty}~x^ke^{-x}~dx=(k+1)\cdot k! \end{eqnarray*}$

wenn ich dies durch (k+19 teile komm ich auf meine annahme:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~x^ke^{-x}~dx=k! \end{eqnarray*}$

wäre ich hierbei nun mit der vollständigen induktion fertig, oder muss ich hierbei noch irgendwas machen?

02.03.2008, 14:45

Mazze

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Du machst das irgendwie falsch rum. Man nimmt an das eine Aussage (über natürliche Zahlen) A für eine natürliche Zahl n gilt und zeigt dann das diese Aussage auch für n + 1 gilt. Das heisst hier

$\begin{eqnarray*} (k+1)\cdot \int_{0}^{\infty}~x^ke^{-x}~dx\underbrace{=}_{\text{Inuktionsvoraussetzung}}(k+1)\cdot k! = (k+1)! \end{eqnarray*}$

bist Du schon fertig. Man zeigt immer die Induktionsbehauptung, nicht die Induktionsvorausetzung. Daher auch der Name.

Induktionsvoraussetzung :

$\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb{N} : \int_{0}^{\infty}~x^ke^{-x}~dx=k! \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung :

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~x^{k+1}e^{-x}~dx=(k+1)! \end{eqnarray*}$

02.03.2008, 15:04

Galileo995703

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nach dem durchrechnen von $\begin{eqnarray*} A(k+1) \end{eqnarray*}$ komm ich ja am ende auf das gleiche wie von $\begin{eqnarray*} A(k) \end{eqnarray*}$ , also:

$\begin{eqnarray*} A(k)=A(k+1) \end{eqnarray*}$

da ich heraus bekomm:

$\begin{eqnarray*} A(k): \int_{0}^{\infty}~x^ke^{-x}~dx=k! \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} A(k+1):\int_{0}^{\infty}~x^{(k+1)}e^{-x}~dx=(k+1)\cdot k! \end{eqnarray*}$

nach dem rechnen mit $\begin{eqnarray*} A(k+1) \end{eqnarray*}$ komm ich ja dann auf:

$\begin{eqnarray*} A(k+1)=: \int_{0}^{\infty}~x^ke^{-x}~dx=k!=A(k) \end{eqnarray*}$

wäre dies dann so richtig?

ich habe ja damit durch die rechnung gezeigt, das meine Induktionsbehauptung = meiner Induktionsvoraussetzung ist, oder?

02.03.2008, 15:07

Mazze

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Zitat:

nach dem durchrechnen von $\begin{eqnarray*} A(k+1) \end{eqnarray*}$ komm ich ja am ende auf das gleiche wie von $\begin{eqnarray*} A(k) \end{eqnarray*}$ ,

Dann hast Du falsch gerechnet.

Zitat:

ich habe ja damit durch die rechnung gezeigt, das meine Induktionsbehauptung = meiner Induktionsvoraussetzung ist, oder?

Überlege Dir selber einmal ob

$\begin{eqnarray*} k! = (k+1)! \end{eqnarray*}$

ist und ob dann auch $\begin{eqnarray*} A(k) = A(k+1) \end{eqnarray*}$ sein kann. Eventuel findest Du Deinen Fehler dann ja auch selber.

02.03.2008, 15:12

Galileo995703

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stimmt, das kann nicht sein, nur bin ich jetzt recht verwirrt.

was soll ich denn am ende genau zeigen, also was müsste = was sein?

02.03.2008, 16:50

Mazze

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Du solltest Dir wohl noch einmal genau anschauen was man bei vollständiger Induktion wie zeigt. Die eigentliche Aussage die wir zeigen wollen ist :

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}x^ke^{-x}dx = k! \end{eqnarray*}$

Das kann man nun mittels vollständiger Induktion zeigen. Dann muss man folgende beiden Sachen zeigen :

Man findet einen Induktionsanfang, das heisst man findet ein natürliches $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ so das die Aussage gilt. Diese $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ hast Du 1 gewählt. Dann gilt die Aussage

$\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb{N}: \int_{0}^{\infty}x^ke^{-x}dx = k! \end{eqnarray*}$

Das ist unsere Induktionsvoraussetzung. Dann muss nur noch gezeigt werden das diese Aussage auch für den Nachfolger dieser Zahl gilt. Es ist also zu zeigen :

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}x^{k+1}e^{-x}dx = (k+1)! \end{eqnarray*}$ (Induktionsbehauptung)

Hierbei verwendet man die Induktionsvorausetzung. Hiermit und mit der Voraussetzung wäre die Aussage dann komplett gezeigt. Ich denke du solltest nochmal in Deine Aufzeichnungen schauen und eventuel nochmal den Beweis nachvollziehen warum vollständige Induktion funktioniert. Wenn man eine Aussage für den Nachfolger einer natürlichen Zahl zeigt, so gilt dieser Beweis dann auch für den Nachfolger des Nachfolgers, den Nachfolger des Nachfolgers des Nachfolgers. usw... Daher reicht es ein k zu finden für das die Aussage gilt und die Aussage für dessen Nachfolger auch zu zeigen.

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