sinus und cosinus funktionen gleichsetzen

02.03.2008, 17:04

lala5

sinus und cosinus funktionen gleichsetzen

hallo,

eigentlich habe ich verstanden, wie man beim gleichsetzen von sinus und cosinus funktion x herausbekommt, ich weiß auch wie man vorgeht, wenn es zum beispiel heißt $\begin{eqnarray*} sin(2x) = sin(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} sin(2x) = cos(x) \end{eqnarray*}$ , aber wie ist es denn zum beispiel bei $\begin{eqnarray*} cos(2x) = sin(x+3) \end{eqnarray*}$ oder bei $\begin{eqnarray*} sin(x-3) = cos(x+4) \end{eqnarray*}$ ?
ich denke man muss mit den additionstheoremen ect. arbeiten, aber entweder es ist total kompliziert oder ich versteh es noch nicht ganz.. kann mir jemand helfen?

vielen dank smile

02.03.2008, 17:25

mYthos

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Wandle in beiden Fällen auf die gleiche Winkelfunktion um.

$\begin{eqnarray*} \sin x = \cos a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin x = \sin (\frac{\pi}{2} - a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{\pi}{2} - a + 2k \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{\pi}{2} + a + 2k \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Über die Natur des k mache dir mal selbst ein wenig Gedanken ...

mY+

02.03.2008, 17:58

lala5

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es gibt ja unendliche viele schnittpunkte, also ist k ein element aus den ganzen zahlen und man kann damit also beliebige schnittpunkte ausrechnen... aber mal angenommen ich bräuchte nur die schnittpunkte im intervall $\begin{eqnarray*} (0; 2\pi ) \end{eqnarray*}$ ... wie gehe ich denn jetzt vor, wenn ich zwei sinusfunktionen gleichgesetzt habe, wie bei deinem beispiel unten?

02.03.2008, 18:29

lala5

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oh bin ich blöd... das is es ja schon, oder?.. also erübrigt sich meine frage

02.03.2008, 18:34

lala5

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aber noch eine frage.. wie müsste ich vorgehen, wenn die gleichung

$\begin{eqnarray*} sin (x) + 3 = -5 sin (\frac{\pi }{2} -a) \end{eqnarray*}$

ist?

danke schonmal =)

02.03.2008, 18:46

mYthos

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k ist immer so zu setzen, dass du alle Winkel in den ersten 4 Quadranten sicher erreichst.

Bei der letzten Gleichung ist:

$\begin{eqnarray*} \sin x = -3 - 5 \sin (..) \end{eqnarray*}$

rechts steht eine Zahl, weil keine Unbekannte (x) drinnen ist.

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

Jetzt mittels $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ das x berechnen.

mY+

02.03.2008, 19:56

lala5

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achso ja.. aber wie wäre es wenn eine unbekannte drin wäre, also zum beispiel wenn a = 3x.. wie geht man dann vor?

02.03.2008, 21:36

mYthos

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Solche Gleichungen lassen sich bisweilen durch spezielle Umformungen lösen (Additionstheoreme). Andernfalls helfen nur noch Näherungsverfahren. Ein solches müsste man beispielsweise bei der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sin x = 3 + 5 \cos 3x \end{eqnarray*}$

anwenden.
[x = 5,01644] [rad]

mY+

02.03.2008, 22:13

lala5

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okey danke.. also sehr kompliziert.. und wie funktioniert dieses näherungsverfahren?

02.03.2008, 23:01

mYthos

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Suche bitte unter "newton" oder "newtonverfahren" bzw. "näherungsverfahren" hier im Board, wir haben darüber schon sehr viel geschrieben.

mY+

Ein Bild, wie das beispielsweise in Excel gelöst wird, füge ich noch hier an.
Es gibt hier viele Lösungen, die von mir angegebenen 5,01644 ist nur eine davon. Es kommt in diesem Fall daher auf die genauere Wahl des Startwertes an, um eine Lösung in einem bestimmten Bereich einzugrenzen.

03.03.2008, 19:10

lala5

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Zitat:

Original von mYthos
k ist immer so zu setzen, dass du alle Winkel in den ersten 4 Quadranten sicher erreichst.

gut, danke.. ich wollte nochmal wegen dem k nachfragen.. war meine erklärung auch richtig bzw. was ist denn mit deinem zitat gemeint?

03.03.2008, 19:59

mYthos

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..ja, k solange variieren, bis du alle Winkel zwischen 0 .. $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ sozusagen "abgegrast" hast.

mY+

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