integral

Neue Frage »

12.09.2005, 20:34	crs	Auf diesen Beitrag antworten »
integral hi ich hab folgendes integral in meiner letzen prüfung gehabt: $\begin{eqnarray} \int{\frac{1}{x-2\cdot \sqrt{x}+5}dx} \end{eqnarray}$ nun meine frage.. ich hab nur ein taschenrechner zur verfügung, wie komme ich bei so einer funktion an das integral? gibts da irgendwelche tricks, ist doch ziemlich heftig oder nicht? mfg crs
12.09.2005, 20:38	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Substituiere $\begin{eqnarray} u=\sqrt{x}-1 \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
12.09.2005, 22:13	crs	Auf diesen Beitrag antworten »
wie bist du darauf gekommen? ich sehe nichtmal jetzt das diese substituition mir was bringt.
12.09.2005, 22:18	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Der eigentliche Trick ist quadratisch zu ergänzen dann kann man gleich erkennen das es sich hier um einen Typ von Integral ist der relativ geläufig ist.
12.09.2005, 22:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe zunächst umgeformt, da es nach der Umformung schon wesentlich bekannter aussieht: $\begin{eqnarray} x-2\sqrt{x}+5=\left(\sqrt{x}\right)^2-2\sqrt{x}+1+4=\left(\sqrt{x}-1\right)^2+4 \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
12.09.2005, 22:23	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ziel einer Substitution ist ja das Integral auf eine Form zu bringen die einem Standartintegral nahe kommt. Man kann so ohne weiteres nicht substituieren. Ich habe die Erfahrung gemacht das man viele Beispiel machen muss um dafür ein Gefühl zu kriegen. Es gibt keine algemeine Regel wie man zu subtituieren hat. Dafür brauchts dann halt schon ein gewisses Hinsehen. Die oben genannte Substitution hilft. Weißt Du wie man mit der Angabe von MSS umgehen muss?
Anzeige

13.09.2005, 01:54	crs	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja danke, damit komm ich klar. Schönen Abend noch.
13.09.2005, 20:19	crs	Auf diesen Beitrag antworten »
nochmal zu sicherheit.... also ich hab dann $\begin{eqnarray} u=\sqrt{x}-1 \end{eqnarray}$ substituiert... daraus folgt dann $\begin{eqnarray} f(u)=u^2-4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(u)=\frac{1}{3}u^3-4u \end{eqnarray}$ ist das schon richtig? also als endergebniss $\begin{eqnarray} F(u)=\frac{1}{3}(\sqrt{x}-1)^3-4(\sqrt{x}-1) \end{eqnarray}$
13.09.2005, 20:30	crs	Auf diesen Beitrag antworten »
naja das ergebniss muss wohl falsch sein,F(x) differenziert ergibt leider nicht f(x). wo ist der feher?
13.09.2005, 20:33	Ande	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme schon mal auf ein ganz anderes f(u) nach der Substitution.
13.09.2005, 21:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@crs Weißt du, wie die Substitutionsregel funktioniert?? So ganz sicher nicht ... Gruß MSS
13.09.2005, 21:21	crs	Auf diesen Beitrag antworten »
ach mist... stimmt hab ganz das dx/du vergessen. muss ja erstmal das dx durch du ersetzten... wie ging das nochmal? mfg crs
13.09.2005, 21:37	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, in diesem Fall stellst du nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ umd und betrachtest dann $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als Funktion $\begin{eqnarray} x(u) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und leitest diese ab. Gruß MSS
13.09.2005, 21:43	crs	Auf diesen Beitrag antworten »
ok hab nochmal drüber nachgedacht aber komme trotzdem nicht weiter... ich substituiere also u=sqrt(x)-1 daraus folgt dann: $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx}=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} dx=2 \frac{du}{x^{-\frac{3}{2}}} \end{eqnarray}$ wenn ich jetzt einsetze steht da folgendes: $\begin{eqnarray} \int {(u^2+4)\cdot 2 \frac{du}{x^{-\frac{3}{2}}}} \end{eqnarray}$ ist das noch richtig? auf jeden fall weiss ich ab hier nicht mehr weiter...
13.09.2005, 21:51	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du musst das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ersetzen, und zwar überall! Ich hab dir doch gesagt, du sollst $\begin{eqnarray} u=\sqrt{x}-1 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ umstellen! Und denk daran, dass $\begin{eqnarray} u^2+4 \end{eqnarray}$ in den Nenner kommt ... Gruß MSS
13.09.2005, 22:01	crs	Auf diesen Beitrag antworten »
irgendwie blicke ich da nicht ganz durch. also u hab ich ja reingebracht aber ich muss ja auch nach u integrieren sprich das dx durch ...du ersetzen. könntest du mir bitte noch etwas weiter helfen...
13.09.2005, 22:06	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nagut, das kann ich ja mal kurz machen: $\begin{eqnarray} u=\sqrt{x}-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x=(u+1)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \mathrm{d}x=2(u+1)~\mathrm{d}u \end{eqnarray}$ Klar? Und jetzt setz mal alles ein und zeig, was du bekommst! Gruß MSS
13.09.2005, 23:02	crs	Auf diesen Beitrag antworten »
hi... danke für die mühe hoffe das es jetzt richtig ist wobei ich es leider bezweifele. mein ansatz: $\begin{eqnarray} \int {(\sqrt(x)-1)^2+4~dx} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int {(u^2+4)\cdot (2u+2)~du} \end{eqnarray}$ ich schätze mal da liegt der fehler ok mache ich aber mal weiter... dann kommt: $\begin{eqnarray} \int{2u^3+2u^2+8u+8~du}=\frac{1}{2}u^4+\frac{2}{3}u^3+4u^2+8u \end{eqnarray}$ jetzt hab ich noch u wieder durch x ersetzt aber differentiert kommt mal wieder nicht das raus was es seien sollte....
13.09.2005, 23:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte schonmal angedeutet, dass du beachten sollst, dass wir nen Bruch haben. Wir sind doch schon noch bei $\begin{eqnarray} \int~\frac{1}{x^2-2\sqrt{x}+5}~\mathrm dx=\int~\frac{1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2+4}~\mathrm dx \end{eqnarray}$ oder? Dann muss da aber auch der Bruch stehen bleiben nach der Substitution!! Gruß MSS
13.09.2005, 23:10	crs	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ja stimmt... garnicht dran gedacht... besten dank. lösung poste ich morgen..

Neue Frage »

Antworten »

integral

Verwandte Themen