Taylorentwicklung für f(x)=cos(sin(x))
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03.03.2008, 15:33 mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorentwicklung für f(x)=cos(sin(x))
Hallo,

ich soll nachweisen, dass sich das Taylor-Polynom von in der Form hat.

Wenn ich versuche durch schrittweises Ableiten (muss ja nicht von Hand sein Augenzwinkern ) die Glieder zu bilden, da graut es mir schon vorm Induktionsschritt, was meine erste Annahme war.

Jedenfalls scheint die Behauptung zu stimmen, nur finde ich keinen Zugang. Beim Suchen nach diesem Thema kam mir auch der Begriff "Maclaurin Series" unter, der mir aber leider gar nichts sagt.

Wenn jmd ne elegante Lösung (oder zumindest nen Zugang) zum Problem hat, wäre ich sehr dankbar. Muss auch nicht sofort sein, die Klausur ist eh vorbei unglücklich

LG,

mlh
03.03.2008, 16:20 Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Form soll es denn haben? Da fehlt glaub ich noch ein Teil von der Aufgabenstellung.

Als "Maclaurin Series" oder im deutschen Maclaurin-Reihe bezeichnet man die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt x_0=0.
03.03.2008, 20:36 bishop Auf diesen Beitrag antworten »

schliesse mich quadrotom an (Big Laugh ). Ist die Frage, ob eine Taylorentwicklung existiert, und wie sie aussieht?
04.03.2008, 00:12 mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nicht, ich glaube die Aufgabe zielt darauf ab zu zeigen, dass man die geschachtelte Funktion so einfach darstellen kann, sonst würde ein "Ineinandereinsetzen" der bekannten Reihen vom Sinus und Cosinus reichen.

Also wenns euch auch spanisch vorkommt, dann bin ich beruhigt. Der ursprüngliche Satzbau war auch sehr seltsam...

Evtl. fällt euch ja trotzdem noch was schickes ein.
04.03.2008, 00:27 Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreib doch wenigstens mal die ursprüngliche Aufgabenstellung Wort für Wort ab, weil bei dir ist wirklich völlig unklar, was die Aufgabenstellung ist, es stimmt ja nicht mal die Grammatik. Davon daß unklar ist, was mit der Summe eigentlich gemeint ist, mal ganz abgesehen.

Wenn du eine n mal differenzierbare Funktion hast, kannst du IMMER alle Taylorpolynome bis zur Ordnung n aufschreiben, das ist die Formel mit den Ableitungen drin. Nur steckt da ja überhaupt keine Aussage drin, das ist einfach die Definition des Taylorpolynoms.

Wenn die Funktion (n+1)-mal stetig differenzierbar ist, kannst du darüber hinaus noch etwas das Restgliedes sagen, d.h. über den Fehler den du machst, wenn du die Funktion durch ihr Taylorpolynom von der Ordnung n approximierst.

Und wenn die Funktion beliebig oft stetig differenzierbar ist, und das Restgliedgegen 0 geht, wenn die Ordnung des Taylorpolynoms gegen unendlich geht, dann spricht man von einer Taylorreihe, d.h. du kannst eine unendliche Summe schreiben und das Restglied weglassen.

Also was ist nun die Aufgabenstellung? Die Koeffizienten a_k ausrechnen? Wenn ja, ist die Formel für die a_k schon gegeben, oder muß man die erst selber herleiten? Oder zeigen, dass das Restglied gegen 0 geht, und sich damit die Funktion in eine Taylorreihe entwickeln läßt?
04.03.2008, 08:44 mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Dann schreib doch wenigstens mal die ursprüngliche Aufgabenstellung Wort für Wort ab, weil bei dir ist wirklich völlig unklar, was die Aufgabenstellung ist, es stimmt ja nicht mal die Grammatik. Davon daß unklar ist, was mit der Summe eigentlich gemeint ist, mal ganz abgesehen.


Ok, die Grammatik ist wirklich blöd - hätte ich mir mehr Zeit nehmen sollen. Abschreiben geht leider nicht, musste das Aufgabenblatt abgeben. Jedenfalls stand in etwa folgendes da:

Zeigen Sie, dass die Funktion ein Taylor-Polynom der Form hat.

Mehr nicht. Keine Angaben zu oder zu sonstigen Anweisungen, die mir erklärt hätten, was ich zu tun habe.

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Wenn du eine n mal differenzierbare Funktion hast, kannst du IMMER alle Taylorpolynome bis zur Ordnung n aufschreiben, das ist die Formel mit den Ableitungen drin. Nur steckt da ja überhaupt keine Aussage drin, das ist einfach die Definition des Taylorpolynoms.


Genau und deswegen ja auch meine Verwirrung. Aber 4 Punkte für "Klar nach Definition und " wird er mir wohl kaum geben.

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Wenn die Funktion (n+1)-mal stetig differenzierbar ist, kannst du darüber hinaus noch etwas das Restgliedes sagen, d.h. über den Fehler den du machst, wenn du die Funktion durch ihr Taylorpolynom von der Ordnung n approximierst.

Und wenn die Funktion beliebig oft stetig differenzierbar ist, und das Restgliedgegen 0 geht, wenn die Ordnung des Taylorpolynoms gegen unendlich geht, dann spricht man von einer Taylorreihe, d.h. du kannst eine unendliche Summe schreiben und das Restglied weglassen.



Das war meine Annahme, dass ich das tun sollte. Allerdings ist und war mir völlig schleierhaft, wie ich die (n+1)-te Ableitung dieser Funktion aufstellen sollte. Das sollte mit dem kurzen Verweis auf die Induktion in meiner ursprünglichen Beschreibung ausgedrückt werden. Wenn ich zeigen könnte, dass das Restglied (würde LaGrange nehmen) gegen Null geht, so wäre klar, dass sich quasi "ohne Fehler" durch die Reihe darstellen ließe.


Ein großes Problem ist hierbei, dass die Klausur von einem Professor gestellt wurde, der seit Ewigkeiten die zugehörige Klausur NICHT gelesen hat und ich auch keine Veranstaltung bei ihm besucht habe. Also bin ich mit derartigen Formulierungen nicht vertraut und kann ab hier auch leider nicht mehr zur Klärung beitragen - so leid es mir tut. Wenn die Aufgabe immer noch unverständlich ist, dann habe ich wenigstens eines erreicht: Im Zweifelsfall anfechten. Denn die Klausur war echt unangemessen im Vergleich zu den Vorjahren, die mir zur Übung bereitstanden.

Danke für die Geduld.
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04.03.2008, 10:39 Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will dir ja nicht zu nahe treten, aber ich denke immer noch, du hast irgendein klitzekleines Zeichen in der Aufgabenstellung übersehen, womit diese plötzlich Sinn ergibt. Solange es keine "originale" Aufgabenstellung gibt, würde ich den Fhler immer zuerst beim Studenten suchen, als beim Professor, das ist nun mal ein Erfahrungswert.

Das die Taylorreihe existiert, ist ja klar, es werden überall konvergente Potenzreihen ineinander eingesetzt. Aber wenn man sich die ersten Terme der Taylorentwicklung ansieht

code: 
1:
2:
3:
4:
5:

taylor(cos(sin(x)),x,10);
                   2         4   37   6    457   8      10
          1 - 1/2 x  + 5/24 x  - --- x  + ----- x  + O(x  )
                                 720      40320


wäre zum Beispiel eine schöne Klausurfrage, zu zeigen, daß nur gerade Terme vorkommen.
04.03.2008, 10:46 mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Ich will dir ja nicht zu nahe treten, aber ich denke immer noch, du hast irgendein klitzekleines Zeichen in der Aufgabenstellung übersehen, womit diese plötzlich Sinn ergibt. Solange es keine "originale" Aufgabenstellung gibt, würde ich den Fhler immer zuerst beim Studenten suchen, als beim Professor, das ist nun mal ein Erfahrungswert.


Oki, dann lassen wir das ganze ein Semester ruhen und ich hole mir dann die Aufgaben aus dem Prüfungsamt - dann wärmen wir das ganze nochmal auf smile .

Im Übrigen: Wie würde ich denn zeigen (Idee reicht vollkommen), dass nur gerade Exponenten vorkommen? Ich habe halt das Problem der geschachtelten Funktionen - bzw. die wachsende Komplexität der Ableitungen - mit dem ich nicht richtig umgehen kann.
04.03.2008, 10:57 Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat nichts mit der speziellen Funktion f zu tun, für deren Ableitung mußt du nicht mal die genauen Werte kennen. Aber f ist gerade, also f(-x)=f(x).

Nur mal interessehalber: Studierst du in Leipzig? Und wenn ja, wer hat die Klausur gestellt? Kannst mir auch gerne eine PN schreiben, das ist ja eher eine private Frage.
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