Äquivalenzrelation

03.03.2008, 17:30

Irrstern

Äquivalenzrelation

seien M,N nichtleere Mengen und f:M->N eine surjektive Abbildung.
i) zeigen sie, dass durch die vorschrift
$\begin{eqnarray*} x\sim y:\Leftrightarrow f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ , für alle x,y in M eine Äquivalenzrelation erklärt wird.

Ich muss also nun auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität prüfen.

$\begin{eqnarray*} \forall x \in M: f(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ (Reflexivität)
$\begin{eqnarray*} \forall x,y \in M: f(x)=f(y) \Leftrightarrow f(y)=f(x) \end{eqnarray*}$ (Symmetrie)
$\begin{eqnarray*} \forall x,y,z \in M: f(x)=f(y) \wedge f(y)=f(z) \Rightarrow f(x)=f(z) \end{eqnarray*}$ (Transitivität)

da alle drei bedingungen erfüllt sind ist gezeigt das durch die vorschrift $\begin{eqnarray*} x \sim y :\Leftrightarrow f(x)=(y) \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation erklärt wird.

03.03.2008, 19:40

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

du willst eine Beurteilung?
Ich denke, dass das man das so stehen lassen kann. Zu den einzelnen Eigenschaften ist ja nicht viel mehr zu sagen...

04.03.2008, 16:44

Irrstern

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist schonmal schön Tanzen

nun hab ich noch ne zweite aufgabe

wir bezeichnen mit M/~ die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der unter i) definierten Äquivalenzrelation ~.
Zeigen Sie, dass dann durch $\begin{eqnarray*} \overset{\sim}{f}:M / \sim\rightarrow N,\overset{\sim}{f}([m]):=f(m) \end{eqnarray*}$ eine bijektive Abbildung definiert wird.

die surjektivität ist ja schon in i) vorrausgesetzt, somit muss ich nur noch die injektivität zeigen. sie ist aber doch schon durch die definition der äquivalenzrelation vorrausgesetzt.
da es nun um äquivalenzklassen geht muss ich es wohl nur ein bischen anderes schreiben. das ist mein problem. meine hoffentlich richtige idee ist dies:
$\begin{eqnarray*} x,y \in \overset{\sim}{f}([x]):f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall x_1,x_2 \in ([x]):f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$
ist irgendwie doppeltgemoppelt, aber dies ist doch schon die injektivität
tuhe mich schwer damit dies in eine korrekte mathematische form zu bringen.
reicht denn dies?? (und ist es formal korrekt geschrieben?) verwirrt

04.03.2008, 19:20

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Injektivität kannst du so zeigen:

aus $\begin{eqnarray*} \overset{\sim}{f}([m]) = \overset{\sim}{f}([n]) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(m)=f(n) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} m \sim n \end{eqnarray*}$

Was gilt dann aber für $\begin{eqnarray*} [m] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [n] \end{eqnarray*}$ ?

Dann noch zur Surjektivität: Direkt vorrausgesetzt ist sie nicht, auch wenn sie direkt aus der Surjektivität von f folgt. Ein kleiner Satz gehört da aber schon noch hin Augenzwinkern

04.03.2008, 19:57

Irrstern

Auf diesen Beitrag antworten »

es git für [m] und [n]: $\begin{eqnarray*} [m] \nsim [n] \end{eqnarray*}$
sonst wäre es eine äquivalenzklasse

aus $\begin{eqnarray*} m \sim n :\Leftrightarrow f(m)=f(n) \end{eqnarray*}$
folgt ja $\begin{eqnarray*} m, n \in [m] \end{eqnarray*}$

Die Abbildung in i) ist surjektiv. D.h. ganz N wird erreicht. Durch die Äquivalenzrelation entstehen Äquivaltenzklassen. Die Eigenschaft der Surjektivität geht dadurch doch nicht verloren.

04.03.2008, 20:21

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Irrstern
es git für [m] und [n]: $\begin{eqnarray*} [m] \nsim [n] \end{eqnarray*}$
sonst wäre es eine äquivalenzklasse

was willst du damit sagen?

Zitat:

Original von Irrstern
aus $\begin{eqnarray*} m \sim n :\Leftrightarrow f(m)=f(n) \end{eqnarray*}$
folgt ja $\begin{eqnarray*} m, n \in [m] \end{eqnarray*}$

Das stimmt, aber das ist nicht das Ziel. Was ist denn das Ziel um Injektivität zu zeigen?

Zitat:

Original von Irrstern
Die Abbildung in i) ist surjektiv. D.h. ganz N wird erreicht. Durch die Äquivalenzrelation entstehen Äquivaltenzklassen. Die Eigenschaft der Surjektivität geht dadurch doch nicht verloren.

Also Mathematik hört sich anders an unglücklich

$\begin{eqnarray*} \overset{\sim}{f} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sind doch erstmal verschiedene Abbildungen. So Sätze wie "Die Surjektivität geht nicht verloren" begründen gar nichts.

Neue Frage »

Antworten »

Äquivalenzrelation

Verwandte Themen