Poisson-Verteilung / Exakt und mit Grenzwertsatz

03.03.2008, 17:38

Tomatonno

Poisson-Verteilung / Exakt und mit Grenzwertsatz

Hallo Leute,

ich habe folgende Aufgabe: Es wird ein Produkt produziert das im Mittel zu 98,5% fehlerfrei ist. Es werden immer 150 Produkte auf eine Palette gepackt.

Nun ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass sich auf einer Palette höchstens zwei Defekte Produkte befinden.

Soweit so gut, dies soll sowohl mittels der exakten Verteilung als auch mit Hilfe des Poissonschen Grenzwertsatztes getan werden.

Soweit ich das verstanden habe ist die Poisson Verteilung eine Näherung der Binomialverteilung.

Das heißt doch dann für die Aufgabe: Einmal mit Binomialverteilung ausrechnen und einmal mit Poisson.

So, dann also als erstes das ganze mit der Binomialverteilung die folgendermaßen aussieht oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 150 \\2 \end{pmatrix} 0,015^2(1-0,015)^{150-2} \end{eqnarray*}$

Und hier liegt auch schon mein erstes Problem. 150 Fakultät kann man Taschenrechner gar nicht mehr rechnen. Und hinten die Klammer mit dem 148 als Exponenten wird Null. So das alles Null wäre und das kann ja nicht sein.

Also wo liegt da der Fehler? Oder ist es nur das Problem, dass meine Technik das nicht mehr rechnen kann?

Edit: Mit Poisson lässt es sich ohne Probleme rechnen und da kommen rund 26% raus.

03.03.2008, 18:33

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tomatonno
150 Fakultät kann man Taschenrechner gar nicht mehr rechnen.

Kürzen! Es ist

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{2} = \frac{n!}{2!\cdot (n-2)!} = \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!}{2!\cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Gleiches kommt natürlich heraus, wenn du gleich die alternative und auch allgemeinere Definition des Binomialkoeffizienten heranziehst.

Übrigens:

Zitat:

Original von Tomatonno
dass sich auf einer Palette höchstens zwei Defekte Produkte befinden.

Bei dir sehe ich erstmal nur die Wkt für genau zwei defekte Produkte...

03.03.2008, 19:38

Tomatonno

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese allgemeine Form steht auch so in meinem Tafelwerk:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n(n-1) ... (n-(k-1))}{k!} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie bin ich zu blöd für diese Formel. Wie soll ich das da einsetzten. OK, n und k kann ich schon einsetzen, aber was sollen diese 3 Punkte zwischen den Beiden Ausdrücken im Zähler. Und wie sind die Verbunden (Summe, Produkt...?) Oder kommt da noch was dazwischen wovon ich fast ausgehe. Aber was? Ich erkenne da einfach keine Logik...

Also das ist jetzt eigentlich mein einziges Problem. Der Rest ist jetzt klar. Wegen dem "höchstens" muss ich jetzt dann noch die Wahrscheinlichkeiten für kein und ein defektes Produkt hinzuaddieren. Und das ist ja dein kein Akt mehr...

03.03.2008, 19:43

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} {n\choose k}:=\prod_{j=1}^k \frac{n-j+1}{j} \end{eqnarray*}$

Dafür stehen die drei Punkte. Such dir aus, welche Schreibweise du einfacher findest.

03.03.2008, 19:44

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tomatonno
Diese allgemeine Form steht auch so in meinem Tafelwerk:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n(n-1) ... (n-(k-1))}{k!} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie bin ich zu blöd für diese Formel. Wie soll ich das da einsetzten. OK, n und k kann ich schon einsetzen, aber was sollen diese 3 Punkte zwischen den Beiden Ausdrücken im Zähler. Und wie sind die Verbunden (Summe, Produkt...?)

Kein Operationszeichen bedeutet Produkt - das siehst du doch nicht zum ersten Mal? Und die Pünktchen bedeuten hier: Beginnend bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , und immer um eins herabzählend multiplizierst du diese Zahlen, und zwar bis herab zum Faktor $\begin{eqnarray*} (n-(k-1)) \end{eqnarray*}$ .

Also

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{1} = \frac{n}{1!} = n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2!} = \frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{4} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \end{eqnarray*}$

...

Das sollte doch soooo schwer nicht zu verstehen sein, zumal an der Hochschule.

03.03.2008, 22:43

Tomatonno

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok jetzt ist es klar. Aber in meinem Fall (n=150) bleib ich dann doch bei der Variante von oben Big Laugh

Dank Euch vielmals Mit Zunge

Neue Frage »

Antworten »

Poisson-Verteilung / Exakt und mit Grenzwertsatz

Verwandte Themen