Integrationsmethoden

13.09.2005, 08:59

holo

Integrationsmethoden

Hab mal gehört, das man beim Integrieren die Integrationsmethoden analog zum Ableiten benutzt, also Partielle Integration <-> Produktregel, und Substituionsregel <-> Kettenregel. D.h. doch, dass immer wenn ich ein Integral mit Produkten hab benutze ich die Partielle Integration, und bei Verschachtelten Integralen immer Substitution? Kann dass dann immer Stur anwenden? Bsp.:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi}~\sqrt{-sin^{2}x+cos^{2}x+1}~dx \end{eqnarray*}$
Da müsste ich ja eigentlich die Substitution anwenden. Aber da komm ich irgenwie nicht weiter.

13.09.2005, 09:32

irre.flexiv

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Beim Integrieren klappt es leider nicht mit Regeln stur anwenden so wie beim Ableiten. Meistens läuft es eher auf Probieren hinaus z.B. bei der Substitution.

Hier kommst du mit $\begin{eqnarray*} cos^2x+sin^2x = 1 \end{eqnarray*}$ weiter.

13.09.2005, 10:28

Mazze

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für die partielle Integration kann man pauschal sagen

Wenn für h(x) = f(x)*g(x) und die n+1 Ableitung von f(x) oder g(x) verschwindet, also die n-te konstant ist und darüber hinaus für die andere Funktion n+1 Stammfunktionen existieren (bzw. berechenbar sind) dann kannst Du zur Bestimmung der Stammfunktion von h(x) n mal partiell integrieren.
Für die Substitution braucht man Erfahrung und man muss auch Erkennen können was einen voran bringen könnte.

Hoffe ich hab mich da jetzt nirgends verhaspelt smile

13.09.2005, 11:39

Lazarus

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umschreiben als:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-\sin{x}^2+\cos{x}^2+1}= \sqrt{2}*cos(x) \end{eqnarray*}$
von dann schwuppts ganz einfach Augenzwinkern

servus

13.09.2005, 11:53

Frooke

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Zitat:

Original von Mazze
für die partielle Integration kann man pauschal sagen

Wenn für h(x) = f(x)*g(x) und die n+1 Ableitung von f(x) oder g(x) verschwindet, also die n-te konstant ist und darüber hinaus für die andere Funktion n+1 Stammfunktionen existieren (bzw. berechenbar sind) dann kannst Du zur Bestimmung der Stammfunktion von h(x) n mal partiell integrieren.
Für die Substitution braucht man Erfahrung und man muss auch Erkennen können was einen voran bringen könnte.

Hoffe ich hab mich da jetzt nirgends verhaspelt smile

Stimmt, aber man kann sollte noch einen Ausnahmefall anmerken!

Wenn f(x)=u(x)v(x) und v ein Polynom ist, ist v abzuleiten (das was Du sagst!)
Wenn aber f(x)=u(x)v(x) und v(x) eine Logarithmusfunktion ist, sollte man dennoch i.d.R. diese Ableiten - obwohl sie nicht verschwindet (auch bei unendlichfachem ableiten) - weil sich dadurch Vereinfachungen mit Polynomen ergeben könnten.... Dies nur so als Add-On! Augenzwinkern

13.09.2005, 13:28

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Lazarus
umschreiben als:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-\sin{x}^2+\cos{x}^2+1}= \sqrt{2}*cos(x) \end{eqnarray*}$

Achtung: Wir bewegen uns im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ . Der Cosinus wird dort auch negativ! Also gilt nur:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-\sin^2x+\cos^2x+1}=\sqrt{2}\cdot |\cos x| \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

13.09.2005, 15:08

Lazarus

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argh ^^
an der genauigkeit arbeite ich noch Augenzwinkern

hast recht, danke !

aber ist im bezug auf des ergebnis eh egal ..

//edit: obwohl .. es ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ und cos^2 ist doch eh positiv ... *nachdenk*
aber es ist doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2^2}=2 \end{eqnarray*}$ und nicht |2| ... oder ?

*verwirrt*
bitte um klärung!
[<- hatte heute ersten schultag .. daher nicht fähig zum denken !!]

servus

13.09.2005, 16:36

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Lazarus
//edit: obwohl .. es ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ und cos^2 ist doch eh positiv ... *nachdenk*
aber es ist doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2^2}=2 \end{eqnarray*}$ und nicht |2| ... oder ?

Ignoriere die Wurzel und betrachte nur $\begin{eqnarray*} z^2 := \cos^2 x \end{eqnarray*}$ .

13.09.2005, 18:21

Mathespezialschüler

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Natürlich ist es $\begin{eqnarray*} =|2| \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} |2|=2 \end{eqnarray*}$ . Aber z.B. ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{(-3)^2}=3=|-3| \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

13.09.2005, 18:56

Lazarus

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schlag mir doch mal bitte jemand ne bratpfanne drüber ^^

ja mittlerweile weiß ich das auch wieder ...

aber heute mittag hatte ich ungefähr soooo ein brett vorm kopf unglücklich

naja

servus

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