Kugel-Kalotte

13.09.2005, 11:57

Kugel-Kalotte

bei folgendem Problem weiß ich nicht mehr weiter:

Auf einer Halbkugel noch nicht bekannten Durchmessers müssen 24 kreisförmige Werkstückaufnahmen vom Durchmesser 24cm verteilt werden. Jeweils 8 Werkstückaufnahmen werden ringförmig auf 3 Kugelabschnitten verteilt.

In der Geometrie bedeutet das:

8 sich berührende Kreise vom Durchmesser 24cm bilden ringförmig angeordnet einen Kugelabschnitt. 3 dieser sich berührender Kugelabschnitte bilden eine Halbkugel.

Wie groß ist der Durchmesser der Halbkugel ?

13.09.2005, 12:14

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Hat jemand die geometrische Anordnung der Kreise verstanden? Also ich jedenfalls nicht, jede mögliche Anordnung endet bei mir mit irgend einem Widerspruch.

13.09.2005, 12:31

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hier nochmal eine Skizze

13.09.2005, 14:06

riwe

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so irgendwie?
werner
edit: zu lange gezeichnet traurig

13.09.2005, 14:11

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@Werner

Hast du's auch schon ausgerechnet? geschockt

Bist ja echt schnell... smile

13.09.2005, 14:47

riwe

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noch nicht ganz, ich muß es ja noch um die kugel stülpen.
aber in der ebene beträgt die seite des gleichseitigen dreiecks:
$\begin{eqnarray*} s=2r(1+\frac{1}{sin( \frac{360}{16}) }) \end{eqnarray*}$

und die baustelle ruft
werner

13.09.2005, 14:49

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Skizze von Wernerrin
jaja, vom Prinzip her richtig, nur jetzt noch 3-dimensional auf die Oberfläche der Halbkugel projiziert.
Welchen rechnerischen Ansatz könnte es geben, um aus der Vorgabe von 24cm am kleinsten Kreis auf den Durchmesser der Halbkugel zu kommen?

13.09.2005, 15:15

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Ein klarer Fall für sphärische Trigonometrie: Die 24cm-Kreise auf der Oberfläche bestimmen einen zugehörigen Kugelsektor mit entsprechenden Öffnungswinkel, natürlich vom zu bestimmenden Kugelradius R abhängig. Ebenfalls mit R als Variable kann man sich dann dem regulären Achteck der Kreismittelpunkte der zu einem einzigen der drei Segmente gehörenden 8 Kreise widmen. Die Umkreismittelpunkte dieser drei Achtecke wiederum bilden ein gleichseitiges Dreieck...

Das ist - mit einer Menge nicht erwähnter Details - die grob umrissene Strategie der Berechnung. Ein gewisses räumliches Vorstellungsvermögen und dann immer noch eine Menge Arbeit sind nötig, um die ganze Rechnung durchzustehen.

13.09.2005, 15:36

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klasse, vielen Dank, das hilft mir schon weiter. Mal sehen, ob ich es fertig bekomme

13.09.2005, 20:39

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Also ich komme im Endeffekt auf

$\begin{eqnarray*} r\;\sqrt{1+\frac{\left( \sqrt{14(2+\sqrt{2})}+2\right)^2}{3}} \approx 5.2426\,r \end{eqnarray*}$ ,

aber ohne Gewähr - es gibt eine Menge Gelegenheiten, sich hier zu verrechnen. Wäre nicht schlecht, wenn das mal jemand nachprüft...

14.09.2005, 21:36

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Auch von mir mal ein Pushpost:

Hmm, irgendwie will keiner so richtig ran, was sehr schade ist. Denn obwohl ich meine Rechnung zweimal überprüft habe, ist das bei dem bekannten Betriebsblindheits-Effekt keine Garantie gegen kleine Rechen- oder große Denkfehler bei der Herleitung.

Oder kann ich nur auf Werner hoffen?

15.09.2005, 09:31

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Problem noch nicht gelöst
ich komme noch nicht weiter mit meinem Problem. Ich habe die Aufgabenstellung nochmal vereinfacht, um mich der Lösung wenigstens in einem Teilschritt zu nähern:

Auf einer Halbkugel gibt es 3 Kugelabschnitte, die sich berühren. Wenn sie Abschnitt dieser Halbkugel sind, stehen sie in einem exakten Größenverhältnis zu dieser.

Wie lautet die rechnerische Beziehung zwischen dem Radius der Halbkugel und dem Radius der Kugelabschnitte?

15.09.2005, 18:16

riwe

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RE: Problem noch nicht gelöst
@hallo arthur:

trigonometrie ist äh, sphärische, da bin ich schon froh, dass ich weiß, wie man das schreibt, aber unter schuttbergen begraben werde ich mal versuchen, mir klar zu machen, wo wie welche kreise verlaufen.

daneben versuche ich mir über einen analytischen/ vektoriellen ansatz klar zu werden, der mir mehr "praxisbezogen" scheint: siehe skizze.
kannst du mir da sagen, ob das (möglicherweise) sinnvoll ist?
r´ sollte der radius des kreises (nach skizze I) auf der kugel sein, auf dem die bösewichter befestigt werden, so stelle ich mir das halt vor bei einem werkzeug, den rest sollte man ja aus der geometrie ableiten können.
oder bin ich da voll auf dem holzweg?

@ja:
NEIN!, das verstehe ich nun gar nicht, kannst du das erklären?

werner

15.09.2005, 22:46

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Morgen werd ich ein paar meiner Gedanken zum Thema hier schreiben. Heute wird das nix mehr: Hab grad 16 Stunden Dienstreise in den Knochen (darunter knapp 700 Kilometer Allein-Autofahrt), kann jetzt nur noch Schläfer

16.09.2005, 09:10

quarague

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Arthur kannst du mal verraten, wie du exakte Werte ausgerechnet hast?
Ich habe mit den schönen Formel bei Wikipedia, Sphärische Geometrie, mal den für den ersten Teilschritt berechnet, der aus der vereinfachten Aufgabe.
Da komme ich bei Radius 1 für die große Kugel auf die Gleichung:
2sin(r)=sin(1-r)
die hat zwar hoffentlich eine eindeutige Lösung aber auf Anhieb kriege ich die nicht explizit.

17.09.2005, 08:45

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Ich hab mal meinen Lösungsweg gründlich ausgemistet, und folgenden Rechenweg ohne besondere Formeln aus der sphärischen Geometrie gefunden:

Das Problem kann man als Hintereinanderausführung zweier Teilprobleme des folgenden Typs auffassen:

Zitat:

Gegeben sei eine Kugel vom Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Auf der gekrümmten Außenfläche einer Kugelkappe vom Öffnungswinkel $\begin{eqnarray*} 2\psi \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0\leq\psi\leq\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , sollen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kleinere Kugelkappen platziert werden, deren Randkreise jeweils den Randkreis der größeren Kugelkappe berühren, und die einander (also jeweils zwei Nachbarn) berühren. Der Öffnungswinkel der kleinen Kugelkappen sei mit $\begin{eqnarray*} 2\varphi \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Gesucht ist nun eine Formel, die $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ darstellt.

Betrachten wir die Berührungspunkte $\begin{eqnarray*} A_1,A_2,\ldots,A_n \end{eqnarray*}$ der kleinen Kreise mit dem großen Kreis, sowie $\begin{eqnarray*} B_1,B_2,\ldots,B_n \end{eqnarray*}$ die Mittelpunkte der kleinen Kreise. Außerdem sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt des regelmäßigen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Ecks $\begin{eqnarray*} B_1B_2\ldots B_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ der Kugelmittelpunkt. Ohne weiteres klar sein sollte $\begin{eqnarray*} \overline{OA_k}=R,\; \overline{OB_k}=R\cos\varphi \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} MB_1 \end{eqnarray*}$ Umkreisradius im regelmäßigen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Ecks $\begin{eqnarray*} B_1B_2\ldots B_n \end{eqnarray*}$ , also gilt $\begin{eqnarray*} \overline{B_1B_2}=2\cdot\overline{MB_1}\cdot\sin\frac{\pi}{n} \end{eqnarray*}$ .

Wie man im Schnittbild durch $\begin{eqnarray*} O,M,A_1,B_1 \end{eqnarray*}$ sieht, gilt $\begin{eqnarray*} \overline{\angle MOB_1} = \overline{\angle MOA_1}- \overline{\angle B_1OA_1} = \psi-\varphi \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} \overline{MB_1} = \overline{OB_1}\sin(\psi-\varphi) \end{eqnarray*}$ folgt dann $\begin{eqnarray*} \overline{B_1B_2}=2R\sin(\psi-\varphi)\cos\varphi\sin\frac{\pi}{n} \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ der Berührpunkt der kleinen Kreise mit den Mittelpunkten $\begin{eqnarray*} B_1,B_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \overline{B_1B_2}=2\cdot\overline{OB_1}\cdot\sin\overline{\angle B_1OP} \end{eqnarray*}$ und weiter $\begin{eqnarray*} \overline{B_1B_2}=2R\sin\varphi\cos\varphi \end{eqnarray*}$ und somit folgt schließlich die aufzulösende Bestimmungsgleichung

$\begin{eqnarray*} \sin\varphi=\sin(\psi-\varphi)\sin\frac{\pi}{n} \end{eqnarray*}$

Mit Additionstheoremen aufgedröselt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{\sin\displaystyle\frac{\pi}{n}}+\cos\psi\right)\sin\varphi = \sin\psi\cos\varphi \end{eqnarray*}$

Den ganzen Mist quadriert (jaja, ich weiß - könnte auch über Tangens gehen, hab aber meine Gründe):

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{\sin\displaystyle\frac{\pi}{n}}+\cos\psi\right)^2\sin^2\varphi = \sin^2\psi-\sin^2\psi\sin^2\varphi \end{eqnarray*}$

also

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin^2\varphi} = \frac{1}{\sin^2\psi}\left[ \left( \frac{1}{\sin\displaystyle\frac{\pi}{n}}+\cos\psi \right)^2+\sin^2\psi \right] \end{eqnarray*}$

Monsterformel, nicht wahr? Aber der Rest ist damit ein Kinderspiel (naja, fast):

(1) Übergang von der Halbkugel zu den drei großen Kugelkappen: $\begin{eqnarray*} \psi=\frac{\pi}{2},n=3 \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin^2\varphi} = \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$ .

(2) Übergang von der großen Kugelkappe zu den acht kleinen Kugelkappen:

Als $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ nehmen wir selbstverständlich das alte $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ von (1), für das nun also $\begin{eqnarray*} \sin^2\psi = \frac{3}{7} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos\psi = \frac{2}{\sqrt{7}} \end{eqnarray*}$ gilt; außerdem ist $\begin{eqnarray*} n=8 \end{eqnarray*}$ . Unter Beachtung von $\begin{eqnarray*} \sin\frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ folgt dann das oben schon genannte

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin^2\varphi} = 1+\frac{\left( \sqrt{14(2+\sqrt{2})}+2 \right)^2}{3} \end{eqnarray*}$

P.S.: Da bisher keiner drauf reagiert hat, habe ich den gestrigen Beitrag gelöscht und durch den hier (skizzenmäßig leicht veränderten) Beitrag ersetzt.

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