Abschätzung gebrochen-rationale Funktion

04.03.2008, 00:23

mylittlehelper

Abschätzung gebrochen-rationale Funktion

Und noch ein Problemchen aus meiner achso tollen Klausur...

Folgende Funktion sei gegeben $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^4+1} \end{eqnarray*}$ . Man zeige die (gleichmäßige) Stetigkeit mit der $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Abschätzung, d.h.

Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ , dann muss im Stetigkeitsfall gelten: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<\varepsilon(\delta) \end{eqnarray*}$

So, fröhlich eingesetzt und auf den Hauptnenner gebracht erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{y^4-x^4}{(y^4+1)(x^4+1)}\right| < \delta \cdot \frac{|x+y|(x^2+y^2)}{(x^4+1)(y^4+1)} \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich aber leider nicht. Soweit ich mich erinnere gab/gibt es auch keine weiteren Bedingungen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Danke für die Geduld des Durchlesens und gute Nacht Schläfer

EDIT: Kleiner Fehler in der Formel, statt $\begin{eqnarray*} (x+y) \end{eqnarray*}$ muss es korrekt $\begin{eqnarray*} |x+y| \end{eqnarray*}$ heißen. Bei allen anderen Teiltermen kann der Betrag entfallen, da wir uns im Reellen bewegen.

04.03.2008, 00:52

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzung gebrochen-rationale Funktion
du kannst $\begin{eqnarray*} \frac{|x+y|(x^2+y^2)}{(x^4+1)(y^4+1)} \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen.

Wegen der Symmetrie des Terms kannst du o.B.d.A $\begin{eqnarray*} |x| \geq |y| \end{eqnarray*}$ annehmen und dann erstmal so abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{|x+y|(x^2+y^2)}{(x^4+1)(y^4+1)} \leq \frac{2|x|2x^2}{x^4+1} \end{eqnarray*}$

jetzt ist es nicht mehr schwer eine obere schranke zu finden und diese auch nachzuweisen.

04.03.2008, 08:52

mylittlehelper

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzung gebrochen-rationale Funktion
Ich probiers mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{|x+y|(x^2+y^2)}{(x^4+1)(y^4+1)} \leq \frac{2|x|2x^2}{x^4+1} < \frac{4|x|}{x^2} = \frac{4}{|x|} \end{eqnarray*}$

also insgesamt $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<\frac{4\delta}{|x|} := \varepsilon \end{eqnarray*}$

Was ja an sich nicht schlecht ist, nur hängt mein Epsilon jetzt auch von x ab, was laut Aufgabenstellung (soweit ich mich richtig erinnere) nicht erlaubt ist.

EDIT: Nachtrag

Oder gehts so weiter?

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<\frac{4\delta}{|x|} \leq \frac{4\delta}{|x-y|} = 4 \end{eqnarray*}$

Falls das stimmt, wäre es sehr schön smile

04.03.2008, 09:21

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzung gebrochen-rationale Funktion

Zitat:

Original von mylittlehelper
$\begin{eqnarray*} \frac{4\delta}{|x|} \leq \frac{4\delta}{|x-y|} \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung ist im allgemeinen falsch.

04.03.2008, 10:16

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzung gebrochen-rationale Funktion

Zitat:

Original von mylittlehelper
Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ , dann muss im Stetigkeitsfall gelten: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<\varepsilon(\delta) \end{eqnarray*}$

Erstmal sollte man sich mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit auskennen.

Eine Funktion f ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem epsilon > 0 ein delta > 0 gibt mit $\begin{eqnarray*} |x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Das delta hängt also vom epsilon ab, nicht umgekehrt.

Zitat:

Original von mylittlehelper
So, fröhlich eingesetzt und auf den Hauptnenner gebracht erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{y^4-x^4}{(y^4+1)(x^4+1)}\right| < \delta \cdot \frac{|x+y|(x^2+y^2)}{(x^4+1)(y^4+1)} \end{eqnarray*}$

Wie du dahin gekommen bist, ist für mich nicht nachvollziehbar.

Ich würde das ganze so angehen:

Zunächst gibt es mit dem Mittelwertsatz ein zeta mit $\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(y)}{x-y} = f'(\zeta) \end{eqnarray*}$

Falls die Ableitung f'(x) nach oben durch M > 0 beschränkt ist, gilt also:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| = |f'(\zeta)| \cdot |x-y| \leq M \cdot |x-y| < M \cdot \delta \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\epsilon}{M} \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Wäre also nur noch die Beschränktheit der 1. Ableitung zu zeigen. Augenzwinkern

04.03.2008, 10:39

mylittlehelper

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzung gebrochen-rationale Funktion

Zitat:

Original von klarsoweit
Das delta hängt also vom epsilon ab, nicht umgekehrt.

Böser Fehler, danke!

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Wie du dahin gekommen bist, ist für mich nicht nachvollziehbar.

Mehrfaches Anwenden der dritten binomischen Formel und weglassen aller Beträge wo x und y nur mit geraden Exponenten auftreten.

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich würde das ganze so angehen:

Zunächst gibt es mit dem Mittelwertsatz ein zeta mit $\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(y)}{x-y} = f'(\zeta) \end{eqnarray*}$

Falls die Ableitung f'(x) nach oben durch M > 0 beschränkt ist, gilt also:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| = |f'(\zeta)| \cdot |x-y| \leq M \cdot |x-y| < M \cdot \delta \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\epsilon}{M} \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Wäre also nur noch die Beschränktheit der 1. Ableitung zu zeigen. Augenzwinkern

Super Idee, auch viel eleganter als so rumzurechnen. Nun, die Beschränktheit der ersten Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-4x^3}{(x^4+1)^2} \end{eqnarray*}$ würde ich so zeigen:

1) Es ist klar, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\pm\infty} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ , da der Grad des Nennerpolynoms größer als der des Zählerpolynoms ist.

2) Es gibt keine Polstellen, da das Nennepolynom keine reellen Nullstellen besitzt.

Damit ist die Beschränktheit geklärt, bliebe nur noch offen, wie M zu wählen ist.

3) Finden lokaler Extrempunkte: Bilde $\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{4x^2(5x^4-3)}{(x^4+1)^3} \end{eqnarray*}$ . Auf den Nachweis kann ich verzichten, wenn ich einfach für alle Kandidaten die Funktionswerte berechne und den betragsmäßig größten nehme.

Dieser ergibt sich mit $\begin{eqnarray*} f(\sqrt[4]{\tfrac{3}{5}}) = \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$

Also erhalten wir $\begin{eqnarray*} |(fx)-f(y)|<\frac{5}{8}\delta = \varepsilon \end{eqnarray*}$ und demnach $\begin{eqnarray*} \delta(\varepsilon)=\frac{8}{5}\varepsilon \end{eqnarray*}$

04.03.2008, 10:43

mylittlehelper

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzung gebrochen-rationale Funktion

Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von mylittlehelper
$\begin{eqnarray*} \frac{4\delta}{|x|} \leq \frac{4\delta}{|x-y|} \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung ist im allgemeinen falsch.

Stimmt, sobald y negativ ist, hauts nicht mehr hin.

04.03.2008, 10:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzung gebrochen-rationale Funktion

Zitat:

Original von mylittlehelper
Dieser ergibt sich mit $\begin{eqnarray*} f(\sqrt[4]{\tfrac{3}{5}}) = \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$

Es ging aber um die Beschränktheit der 1. Ableitung, nicht um die der Funktion selbst. smile

04.03.2008, 11:23

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzung gebrochen-rationale Funktion

Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} \frac{2|x|2x^2}{x^4+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mylittlehelper
Nun, die Beschränktheit der ersten Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-4x^3}{(x^4+1)^2} \end{eqnarray*}$ würde ich so zeigen:

was ist daran jetzt einfacher? unglücklich

macht man um die ableitung einen betrag, sind das fast die selben terme.

PS: und waurm machst du dir solch einen stress mit den lokalen extrempunkten der ableitung? es hat doch niemand das supremum verlangt. irgendeine obere schranke reicht doch schon.

04.03.2008, 13:08

mylittlehelper

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abschätzung gebrochen-rationale Funktion

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von mylittlehelper
Dieser ergibt sich mit $\begin{eqnarray*} f(\sqrt[4]{\tfrac{3}{5}}) = \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$

Es ging aber um die Beschränktheit der 1. Ableitung, nicht um die der Funktion selbst. smile

Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} f'(\sqrt[4]{\tfrac{3}{5}}) = -\frac{5}{16}\sqrt[4]{135} \end{eqnarray*}$

Und damit

$\begin{eqnarray*} \delta(\varepsilon)=\frac{16}{5\cdot\sqrt[4]{135}}\cdot\varepsilon \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Abschätzung gebrochen-rationale Funktion

Verwandte Themen