Stetige Folge???

13.09.2005, 19:30

Brett

Stetige Folge???

Hallo zusammen,

kann mir hier einer das Brett vor meinem Kopf entfernen?

Stetigkeit bedeutet doch "anschaulich", dass man den Graphen der Funktion "ohne Absetzen" zeichnen kann.

Das wird ja wohl bei einer Folge, also einer Funktion mit Definitionsbereich IN, kaum möglich sein.

Wie kann ich aber mit den gängigen Definitionen von Stetigkeit (Für alle Folgen ..., epsilon-delta ...) dies exakt zeigen??? Dort ist ja von Folgen die Rede, die im Definitionsbereich ihre Werte haben sollen...?

Vielen Dank, ihr Zimmermänner und -frauen!!!

13.09.2005, 20:30

Mathespezialschüler

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Schreib mal bitte die genaue Definition von Stetigkeit auf, die du kennst. Denn manche bezeichnen auch Folgen als stetig, da sie eine Funktion in einem isolierten Punkt als stetig ansehen. Diese Anschaulichkeit versagt übrigens manchmal auch: Es gibt nämlich Funktionen, die stetig sind in einem Punkt, die man dort aber nicht "ohne Absatzen" zeichnen kann!!
Zu den Folgen im Definitionsbereich: Ja, die müssen aus diesem Bereich stammen und hier ist es nunmal $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

13.09.2005, 20:39

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Es gibt nämlich Funktionen, die stetig sind in einem Punkt, die man dort aber nicht "ohne Absatzen" zeichnen kann!!

Was ich mich schon länger frage: Gehört

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}1 & \mathrm{f\ddot{u}r\ } x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\\0 & \mathrm{f\ddot{u}r\ } x \in \mathbb{Q}\end{cases} \end{eqnarray*}$

dazu?

13.09.2005, 20:54

Mathespezialschüler

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Nein, diese Funktion ist in keinem Punkt stetig. Ich dachte eher an so etwas oder folgendes:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 0 & \text{ für }x\in \mathbb R\backslash\mathbb Q \\ \frac{1}{q} & \text{ für } x=\frac{p}{q}\in\mathbb Q,\quad p,q\in\mathbb Z\text{ mit }\mathrm{ggT}(p,q)=1\end{cases} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist nämlich in allen $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\backslash\mathbb Q \end{eqnarray*}$ stetig.

Gruß MSS

13.09.2005, 21:03

sqrt(2)

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Ah, dankeschön. smile

13.09.2005, 21:27

Brett

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Def. Stetigkeit:

1) f: D --> IR stetig in a aus D, wenn f(x) --> f(a) für x --> a,
genauer: wenn für alle Folgen (a_n) mit a_n in D für alle n und a_n --> a gilt f(a_n) --> f(a).

äquivalent dazu:

2) f: D --> IR stetig in a aus D, wenn zu jedem epsilon > 0 ein delta > 0 existiert, so dass für alle x aus D mit abs(x - a) < delta gilt abs(f(x) - f(a)) < epsilon

13.09.2005, 21:35

Mathespezialschüler

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Ok, nach eurer Definition von Stetigkeit ist jede Folge in jedem Punkt stetig!! Überleg mal warum!

Gruß MSS

13.09.2005, 21:50

Brett

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Na, würde sagen per meiner definitionem, da eben D = IN ist, also eben nur solche Folgen zugelassen sind zu "alle Folgen", die es erfüllen (klingt nach zirkelschluss, ist aber wohl eher tautologisch, oder?) Aber mit der Zeichnerei ist es dann nicht weit her.

13.09.2005, 21:54

Mathespezialschüler

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Sorry, aber geht das auch auf deutsch? Ich verstehe leider nicht, was du mir sagen willst. (In letzter Zeit passiert mir das öfter. Langsam frag ich mich, ob das an mir liegt verwirrt

)
Fang so an: Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge aus dem Definitionsbereich, die gegen $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ konvergiert. Versuche jetzt zu folgern, dass es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ geben muss, sodass $\begin{eqnarray*} \forall\ n>n_0:\ a_n=a \end{eqnarray*}$ , sodass die Folge also ab einem bestimmten Glied konstant $\begin{eqnarray*} =a \end{eqnarray*}$ ist. Was folgt dann daraus über den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(a_n) \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

13.09.2005, 22:33

Brett

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Hilfe mir schnell: Ich betrachte doch f: IN --> IR, also wieso muss a in IN sein?

Wenn erstmal für alle n>N gilt a_n =0, dann klar, dass lim_(n->infty) f(a_n) = f(a).

13.09.2005, 22:37

Brett

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EDIT: Meine oben natürlich "a_n=a, dann klar ...".

13.09.2005, 22:42

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Brett
Def. Stetigkeit:

1) f: D --> IR stetig in a aus D, wenn f(x) --> f(a) für x --> a,
genauer: wenn für alle Folgen (a_n) mit a_n in D für alle n und a_n --> a gilt f(a_n) --> f(a).

Es muss doch $\begin{eqnarray*} a\in\mathrm{D} \end{eqnarray*}$ sein und hier ist nunmal $\begin{eqnarray*} \mathrm{D}=\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

13.09.2005, 23:00

Brett

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Ach ja, hatte ich schon vom Brett erzählt...

Also ich betrachte a_n mit a_n in IN für alle n in IN. Es soll lim a_n =a gelten, also zu jedem epsilon > 0 ein n aus IN existieren, so dass abs(a_n-a) < epsilon für alle n > N.

Da dies also auch für ein (0 <) epsilon < 1 gelten muss und a_n sowie a in IN sind, bleibt dann nur a_n-a =0, also a_n =a.

13.09.2005, 23:05

Mathespezialschüler

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Genau!

Gruß MSS

13.09.2005, 23:13

Brett

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Genauer: Obige Argumentation impliziert auf der Monotonie der Folge (sonst könnte man nicht auf alle n>N schließen), und das geht hier, da Def.-bereich = IN ist? (Sonst gilt ja beschr.+monoton => konvergent und Umkehrung nicht, vgl. alternierende Folgen, doch eben die sind in IN ausgeschlossen?)

13.09.2005, 23:14

Mathespezialschüler

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Was willst du denn jetzt noch beweisen? Dass eine "fast-konstante" Folge konvergiert, ist doch trivial.

Gruß MSS

13.09.2005, 23:34

Brett

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Zusammenfassung:

Def.: Stetigkeit

f: D --> IR stetig in a aus D, wenn f(x) --> f(a) für x --> a,
genauer: wenn für alle Folgen (a_n) mit a_n in D für alle n in IN und a_n --> a gilt f(a_n) --> f(a).

Insbesondere gilt mit dieser Definition, dass Folgen, also Abbildungen IN --> IR an jeder Stelle a des Definitionsbereichs IN stetig sind.

Beweis hierfür:

1) Es sei (a_n) ein beliebige Folge mit a_n in D für alle n in IN und a_n --> a. Das bedeutet der Definition der Konvergenz folgend, dass zu jedem epsilon > 0 ein N in IN existiert, so dass abs(a_n-a) < epsilon für alle n > N gilt. Damit gilt auch für ein ausgezeichnetes 0 < epsilon' < 1, dass ein N' existiert mit a_n-a < epsilon' < 1 für alle n > N', und wegen a_n und a in IN damit muss a_n-a =0 bzw. a_n = a für alle n > N' gelten.

2) Deswegen gilt lim_(n -> infty) a_n = a (sogar lim_(n>N') a_n=a) und somit lim_(n -> infty) f(a_n) = a (bzw. lim_(n>N') f(a_n)=a). Dies bedeutet gerade, dass f in a stetig ist, und da a_n beliebig bzw. zu einem beliebigen a "konstruiert" wurde, gilt also, dass f in jedem a in D = IN stetig ist.

13.09.2005, 23:42

Mathespezialschüler

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Ist ok mit kleinen Schönheitsfehlern:
1. Du solltest den abs durchgehend benutzen.
2. Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \lim_{n>N'}a_n=a \end{eqnarray*}$ ist mir unbekannt und ich weiß auch ihre genaue Bedeutung nicht.
3. Du musst unten natürlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(a) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(a_n)=a \end{eqnarray*}$ schreiben.
4. Die Folge wurde nicht konstruiert. Sie war beliebig gegeben unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=a \end{eqnarray*}$ ist. Aber da solltest du besser einfach schreiben: "Da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ beliebig aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gewählt wurde, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in jedem Punkt $\begin{eqnarray*} a\in\mathrm D=\mathbb N \end{eqnarray*}$ stetig." o.Ä..
smile

Gruß MSS

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