Konvergenz des Exponentialturms

13.09.2005, 23:00

Mathespezialschüler

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Konvergenz des Exponentialturms

Hallo!
Sei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine beliebige positive, reelle Zahl. In einem anderen Thread (nämlich hier) hatte Arthur mal erwähnt, dass die rekursiv definierte Folge

$\begin{eqnarray*} \alpha_1:=\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_{n+1}=\alpha^{\alpha_n} \end{eqnarray*}$

genau für $\begin{eqnarray*} 0<\alpha\leq \sqrt[\operatorname{e}]{\operatorname{e}} \end{eqnarray*}$ konvergiert, und zwar gegen Werte $\begin{eqnarray*} \lim\alpha_n\in [0,\operatorname{e}] \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \alpha>\sqrt[\operatorname{e}]{\operatorname{e}} \end{eqnarray*}$ divergiert die Folge also bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ . Für den Grenzwert haben wir in dem Thread auch schon eine Darstellung gefunden, nämlich

$\begin{eqnarray*} \lim\alpha_n=\frac{\mathrm W(-\ln \alpha)}{-\ln{\alpha}} \end{eqnarray*}$ .

Was ich mich zuerst gefragt habe: Für welches $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim\alpha_n=0 \end{eqnarray*}$ ? Wenn es tatsächlich eins gibt, hätte ich auch gleich eine andere Frage beantwortet, nämlich ob es eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a,b] \end{eqnarray*}$ gibt und wie sie aussehen könnte. Big Laugh

Big Laugh

Ich hab mich dann mal mit dem Beweis der Konvergenz bzw. Divergenz beschäftigt. Für $\begin{eqnarray*} 1\leq \alpha\leq \sqrt[\operatorname{e}]{\operatorname{e}} \end{eqnarray*}$ ist der Beweis relativ trivial (Monotonie und Beschränktheit lassen sich auf gewohnte Weise nach dem bekannten Schema nachweisen.). Für die Divergenz hatte ich bis jetzt noch keine Idee. Und was den Fall $\begin{eqnarray*} 0<\alpha<1 \end{eqnarray*}$ angeht, da sehe ich noch etwas schwarzer.

Gruß MSS

13.09.2005, 23:29

JochenX

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RE: Konvergenz des Exponentialturms

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn es tatsächlich eins gibt, hätte ich auch gleich eine andere Frage beantwortet, nämlich ob es eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a,b] \end{eqnarray*}$ gibt und wie sie aussehen könnte. Big Laugh

Big Laugh

vom rest habe ich keine ahnung, aber da muss ich dich enttäuschen; da bist du nicht der erste

es gilt übrigens: jedes endliche intervall über IR hat die gleiche mächtigkeit
jedes endliche intervall hat sogar die mächtigkeit wie IR selbst
und IR ist wiederum so mächtig wie IRxIR

also da gewinnst du den nobellpreis nicht

13.09.2005, 23:33

Mathespezialschüler

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Das mit den Mächtigkeiten wusste ich größtenteils schon. Und den Nobelpreis will ich auch nich gewinnen. Hammer

Hammer

Dass das schon jemand anderes einmal gelöst haben wird, war mir klar. Es war auch so gemeint, dass ich mir die Frage schon seit einiger Zeit stelle und sie jetzt beantworten könnte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

PS: Was ist ein endliches Intervall? Wofür steht denn endlich? Ich hätte es ja eher beschränkt genannt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.09.2005, 23:43

AD

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
nämlich ob es eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a,b] \end{eqnarray*}$ gibt und wie sie aussehen könnte.

Das geht ja nun wirklich deutlich einfacher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.09.2005, 23:44

JochenX

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entschuldigung, ich meinte endlicher breite
darfst es auch gerne jedes beliebige reelle intervall, bzw. sogar jede beliebige intervall-vereinigung [das dann zu zeigen, ist mit card(IR)=card(IR^2) nicht mehr schwer]

ich hoffe, dass wird jetzt nicht zu sehr OT, aber ich poste das trotzdem mal hier, war ein teil meines proseminars letztes semesters:

zz: card((0,1])=card((0,1))
finde bijektion f von (0,1] nach (0,1)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac{3}{2}-x, & \text{für } \frac{1}{2}<x\leq 1 \\ \frac{3}{4}-x, & \text{für } \frac{1}{4}<x\leq \frac{1}{2} \\ \frac{3}{8}-x, & \text{für } \frac{1}{8}<x\leq \frac{1}{4} \\ ....... \end{cases} \end{eqnarray*}$

und dann noch eben die leicht zu verifizierenden eigenschaften zeigen

damit leicht zu zeigen: alle intervalle von a nach b (mit sämtlichen "randein-ausschließungen) sind gleichmächtig
mit simpler zentralprojektion zeigt sich dann schnell (0,1) gleichmächtig zu IR, sowie auch (a,b) gleichmächtig zu (c,d) für alle intervalle

und schwupps hast du einiges da stehen
das ist jetzt doch etwas OT geworden, deswegen füge ich den beweis von card(IR)=card(IR^2) nicht mehr an

mfg jochen

edit: danke AD, bist auch offtopic, das beruhigt mich etwas smile

smile

14.09.2005, 00:03

Mathespezialschüler

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@LOED
Ok, danke für die Infos! Mit der einen Bijektion ist der Rest über die beschränkten Intervalle natürlich klar (Eine Bijektion von $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [c,d] \end{eqnarray*}$ bzw. von $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (c,d) \end{eqnarray*}$ kenne ich). Den Rest können wir ja vll ein anderes Mal besprechen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für die Gleichmächtigkeit von $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ fällt mir übrigens doch grad sofort eine Bijektion ein:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\tan\left(\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$ .

@Arthur
Als ich gesehen hab, dass du ne Antwort schreibst, habe ich aber ne Antwort mit Bezug auf mein eigentliches Problem erwartet! Big Laugh

Big Laugh

Und ob das jetzt viel einfacher ist, darüber lässt sich auch streiten! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hast du denn keine Ideen zu den Fragen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vor allem das mit dem $\begin{eqnarray*} \lim\alpha_n=0 \end{eqnarray*}$ müsstest du mir doch beantworten können. Immerhin hast du es ja erwähnt. Big Laugh

Big Laugh

Gruß MSS

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14.09.2005, 06:59

Leopold

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Beachte auch den Zusammenhang mit diesem.

14.09.2005, 14:42

Mathespezialschüler

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Danke Leopold. Hab mich mal, so weit wie einigermaßen möglich, durchgekämpft.
@Arthur & Leopold
Habt ihr keine Ideen zu der eigentlichen Frage? Vor allem du, Arthur, musst mir doch was dazu sagen können, immerhin wusstest du, für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ es konvergiert bzw. divergiert. Außerdem: Wen soll ich denn sonst fragen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was mich ja stört, ist, dass das Intervall, in dem die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ liegen, für die $\begin{eqnarray*} \alpha_n \end{eqnarray*}$ divergiert, linksoffen ist. D. h. wenn es es linksabgeschlossen wäre, dann würde die Sache wohl (wesentlich) einfacher.
Achja und als zusätzliche Frage hätte ich noch folgendes: Folgt aus

$\begin{eqnarray*} 0<\alpha<\beta\leq\sqrt[\operatorname{e}]{\operatorname{e}} \end{eqnarray*}$

beziehentlich die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 0\leq\lim\alpha_n<\lim\beta_n\leq\operatorname{e} \end{eqnarray*}$ ?

Für $\begin{eqnarray*} \beta\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist das ja klar, aber für $\begin{eqnarray*} \beta<1 \end{eqnarray*}$ nicht auf Anhieb. verwirrt

verwirrt

Gruß MSS

14.09.2005, 15:51

AD

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Ach, was soll diese Drängelei, MSS - irgendwie interessieren mich diese Exponentialtürme nicht sonderlich. smile

smile

Betrachten wir $\begin{eqnarray*} 0<\alpha<\beta<1 \end{eqnarray*}$ sowie die Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}~\alpha_n =: a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}~\beta_n =: b \end{eqnarray*}$ . Dann gilt ja notwendig $\begin{eqnarray*} a=\alpha^a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\beta^b \end{eqnarray*}$ . Angenommen $\begin{eqnarray*} a\geq b>0 \end{eqnarray*}$ , dann müsste folgen

$\begin{eqnarray*} a=\alpha^a\leq \alpha^b<\beta^b=b \end{eqnarray*}$ , Widerspruch.

14.09.2005, 19:59

Leopold

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Hier wird ein anderer Konvergenzbereich angegeben.

14.09.2005, 20:06

AD

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Kann durchaus sein - ich hab mich im anderen Thread ja nur damit befasst, wo der Turm bestimmt divergiert.

Insofern ergänze ich meinen letzten Beitrag: Wenn $\begin{eqnarray*} (\alpha_n) \end{eqnarray*}$ überhaupt konvergiert, dann gilt für den Grenzwert $\begin{eqnarray*} a=\lim\limits_{n\to\infty}~\alpha_n \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \alpha^a=a \end{eqnarray*}$ .

14.09.2005, 20:58

Mathespezialschüler

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Danke Leopold. Das wrde ich mir mal genauer angucken. Und danke auch an Arthur für die Abschätzung oben! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

16.12.2005, 11:38

Frooke

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RE: Konvergenz des Exponentialturms
Hey MSS: Leider war ich nicht da, als dieser Thread gestartet wurde. Und wie Du weisst, bin ich an diesem Ding ja auch interessiert. Darum grabe ich den Thread noch mal aus... Du kennst zwar meine mangelnde mathematische Präzision, aber für Konvergenz bzw. Divergenz hatte ich eine scheinbar einfache Lösung gefunden (ob sie stimmt kannst Du sicher beurteilen...)

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Für den Grenzwert haben wir in dem Thread auch schon eine Darstellung gefunden, nämlich

$\begin{eqnarray*} \lim\alpha_n=\frac{\mathrm W(-\ln \alpha)}{-\ln{\alpha}} \end{eqnarray*}$

Wir hatten in anderen Threads auch bereits die folgende Gleichung hergeleitet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {}^nx=\frac{\mathrm W(-\ln x)}{-\ln{x}} \end{eqnarray*}$

Doch genau an dem Punkt, an dem die W-Funktion auf die Gleichung angewendet wird, wird ersichtlich, wo die Gleichung eine Lösung hat (also konvergiert) und wo sie unendlichviele Lösungen hat (also divergiert). Ich bin unsicher, ob das zum beweisen ausreichend ist, aber laut dem Defbereich der W-Funktion ergibt sich, dass der Expturm genau dann konvergiert, wenn eben

$\begin{eqnarray*} 0<x<\sqrt[\mathrm{e}]{\mathrm{e}} \end{eqnarray*}$

gilt, wie ihr ja schon gezeigt habt... Das reicht doch dann für das Zeigen der Divergenz oder Konvergenz. In meinem Fall geht man einfach nicht über die rekursiv definierte Folge, was vielleicht die Sache mit dem Defbereich klarer macht... Noch eine Zeichnung...

PS: Vielleicht ist das gar nicht, was Du wissen willst, in diesem Fall sorry... Aber mal sehen smile

smile

16.12.2005, 23:23

Mathespezialschüler

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Nein, die Lambert-W-Funktion hat eigentlich gar nichts mit der Konvergenz zu tun. Sie dient nur zur Bestimmung des Grenzwertes. Im Übrigen gibt es im anderen Fall nicht unendlich viele, sondern nur zwei Lösungen. Die Frage der Konvergenz kann aber damit nicht beantwortet werden. Außerdem ist der Konvergenzbereich nicht der, den du angegeben hast, sondern der in Leopolds Link angegebene.

Gruß MSS

17.12.2005, 02:40

Frooke

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Ja du hast recht, 2 Lösungen natürlich... Aber dass die Konvergenz nicht unendlich nahe gegen null herangeht muss ich erst mal nachvollziehen...

17.12.2005, 12:23

Frooke

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Jetzt muss ich aber wegen der Konvergenz trotzdem nochmals was nachfragen:

Es ist ja
$\begin{eqnarray*} f(x):=x^{x^{x^{...}}} \end{eqnarray*}$
und damit
$\begin{eqnarray*} f(x)=:x^{f(x)} \Leftrightarrow \ln{f(x)}=f(x) \ln x\Leftrightarrow -\ln{f(x)}\mathrm{e}^{-f(x)}=-\ln x \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt zu beiden Seiten die Lambert-W-Funktion anwende, muss per Definition

$\begin{eqnarray*} -\ln x\geq-\frac{1}{\mathrm{e}} \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} x\leq\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}} \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} -\ln{f(x)}=\mathrm{W}(-\ln x)~\forall~x\leq\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}} \end{eqnarray*}$

und damit ist

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\mathrm{W}(-\ln x)}{-\ln x}~\forall~x\leq\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}} \end{eqnarray*}$

Daraus kann man doch schliessen, dass f(x) im besagten Intervall EINE Lösung hat (also konvergiert). Und warum reicht das denn nicht als «Beweis» der Konvergenz?

(Es ist mir klar, dass man mit Betrachtung der beiden Funktionsäste zwischen -1/e und 0 diesen Konvergenzbereich noch nach unten limitieren kann, ich bin einfach noch nicht draufgekommen, aber ich sehe nicht, warum die Eindeutigkeit der Gleichung oben, also die Tatsache, dass f(x) EINE Lösung hat in einem gewissen Bereich nicht als Konvergenzbeweis ausreicht.)

Hoffe, dass Du verstehst, was ich meine und ich würde mich über eine Antwort freuen...

17.12.2005, 14:11

Mathespezialschüler

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Ganz einfaches Beispiel: Sei $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=2x_n=f(x_n) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ ist. Dann besitzt die Gleichung $\begin{eqnarray*} x=f(x) \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung, nämlich $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . Aber die Folge divergiert bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

17.12.2005, 17:08

Frooke

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Ja schon, aber in null ist sie ja dann trotzdem «konvergent»... und das ist ein etwas anderes Beispiel, weil ja im vorderen Fall die Funktion selbst aus ihren Eigenschaften geschlossen dargestellt worden ist...

Oder anders ausgedrückt. Es kann ja kein «Zufall» sein, dass sich das Konvergenzintervall mit dem Intervall der «Lösungseindeutigkeit» der Gleichung deckt...

Ich sehe nur nicht, warum die Eindeutigkeit nicht ausreicht als Kriterium

PS: Sorry für die vielen Neologismen, aber ich kann ich heute irgendwie nur schlecht ausdrücken...

PPS: Sorry, wenn ich mich so dumm anstelle, aber ich verstehs immer noch nicht.

17.12.2005, 19:03

Mathespezialschüler

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Zitat:

Oder anders ausgedrückt. Es kann ja kein «Zufall» sein, dass sich das Konvergenzintervall mit dem Intervall der «Lösungseindeutigkeit» der Gleichung deckt...

Genau. Es kann Zufall sein. D.h.: Es kann so oder so sein. Ich hab dir doch schon ein Gegenbeispiel gegeben, also wo ist das Problem?

Gruß MSS

17.12.2005, 20:33

Frooke

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Ja, jetzt seh ich's. Danke.

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