Ebenenschar parallel

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04.03.2008, 16:39

babelfish

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Ebenenschar parallel

Jaja, das Abi naht... Augenzwinkern

Ich hab hier eine Frage zu Ebenenscharen:

Zitat:

Geben Sie eine Gleichung derjenigen Ebenenschar an, welche genau die Ebenen enthält, die echt parallel zur Ebene F: 2x-3y+4z=6 verlaufen.

Ich hab mir dazu folgenden Ansatz überlegt:

$\begin{eqnarray*} E_a: 4x - 6y + 8z + a(2x - 3y + 4z - 6) = 0 \end{eqnarray*}$

ausmultipliziert etc.:

$\begin{eqnarray*} E_a: (4+2a)x + (-6-3a)y + (8+4a)z = 6a \end{eqnarray*}$

Kann das sein?
In den vorhergehenden Erläuterungen wurde erklärt, dass es bei einer Schar paralleler Ebenen immer eine Ebene gibt, die zwar nicht zur Schar gehört, aber trotzdem parallel zu den Scharebenen verläuft. Diese Ebene (ich nenn sie mal F) erhält man, indem man den Parameter (a) der Ebenenschar ausklammert und den Klammerausdruck gleich 0 setzt. Der Ausdruck außerhalb der Klammer ist dann natürlich E_0
Ich hab jetzt bei der Aufgabe versucht, das ganze einfach rückwärts zu machen - Also F einfach umklammert und mit a multipliziert. Brauchte ich nur noch eine potenzielle E_0 Ebene. Dafür habe ich mir einfach eine Ebene ausgesucht, die ein Vielfaches von der linken Seite von F ist, damit E_0 auch tatsächlich dann parallel zu F verläuft.
Dann hab ich es halt nur noch ausmultipliziert und so...
Funktioniert das so?
Und warum gibt es überhaupt immer eine Ebene die nicht zur Schar gehört, aber trotzdem parallel ist? Im Buch wird leider dafür keine Erklärung geliefert...

Wäre schön, wenn jemand Klarheit schaffen könnte! Augenzwinkern

04.03.2008, 17:07

mYthos

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Die Lösung der im Zitat angegebenen Aufgabe lautet für mich schlicht und ergreifend

$\begin{eqnarray*} 2x - 3y + 4z - a = 0 \ \ \ \text{mit } a \in \mathbb{R} \text{ und } a \neq 6 \end{eqnarray*}$

Damit sind (genau) alle geforderten Ebenen abgedeckt, die nicht selbst mit der gegebenen Ebene zusammenfallen. Oder übersehe ich da etwas?

Das andere, was du danach schreibst, dies verstehe ich nicht ganz. So einen ähnlichen Fall hatten wir allerdings schon mal hier im Board, wenn ich mich recht erinere, danach müsste ich noch suchen ...

mY+

Ich hab's:

Ebenenscharen - kleines Verständnis Problem

Wie du siehst, ist das Problem aber dort etwas anders gelagert, als hier!
Aber allenfalls interessant!

05.03.2008, 19:46

babelfish

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Erstmal danke für den Link, da hat sich ja anscheinend tatsächlich schon mal jemand ähnliches gefragt! Augenzwinkern

Allerdings fände ich deine Lösung zur Aufgabe jetzt ein wenig geschummelt, muss ich sagen, ich denke es ist eher eine Schar gemeint, mit $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ohne Ausnahmen! Augenzwinkern

Meinst du, dass meine Schar hinkommen könnte?

05.03.2008, 21:03

mYthos

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Geschummelt? verwirrt

So etwas mache ich doch nicht! Big Laugh

Denn auch "deine" Schar führt im Prinzip genau dorthin. Willst du wissen, wie?

$\begin{eqnarray*} (4 + 2a)x - (6 + 3a)y + (8 + 4a)z = 6a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(2 + a)x - 3(2 + a)y + 4(2 + a)z = 6a \ \text{ dividieren durch } (2 + a) \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x - 3y + 4z = \frac{6a}{2 + a} = t \end{eqnarray*}$

Der rechte Teil ist wieder eine Konstante (t), wie eingangs bei mir das a.
Der Vorteil dieser Schreibweise (t mittels a) - welcher im Sinne des Aufgabenstellers gelegen sein mag - ist allerdings, dass für jedes reelle $\begin{eqnarray*} a \neq -2 \end{eqnarray*}$ der zweite Parameter t niemals 6 wird. Daher kann die gegebene Ebene (in der 6 ihre Konstante ist) nie dieser Schar angehören.

Ich musste bei meiner Lösung den Fall a = 6 explizit ausschließen.

Fein. Deine Schar kommt also exakt dorthin. Du musst allerdings a = -2 ausschließen.

mY+

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