Frage(n) zum Kreuzprodukt!

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MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »
Frage(n) zum Kreuzprodukt!
Hi,

ich mache gerade etwas Autodidaktik mit Hallidays Buch "Physik" und bin da über das Kreuzprodukt gestolpert.

Ich weiß nämlich nicht, wie man z.B. auf die Rechenregel kommt (kann auch keine Pfeile im Latex machen).
Ich hab mir gedacht, dass durch die Umordnung sich etwas in der Herleitung des Kreuzproduktes verändert, aber ich hab nichts gefunden, was sich in der Herleitung hätte verändern können, da ja alles auf Definitionen aufbaut.

Auch kenne ich die Herleitung des Assoziativgesetzes von der Multiplikation eines Skalars mit einem Kreuzprodukt() nicht.

Könnt ihr mir da vielleicht weiterhelfen?

mfg MrPSI
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

"quer führen"... was soll das heißen?

und was soll eine Leichtigkeit sein?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
"quer führen"... was soll das heißen?

und was soll eine Leichtigkeit sein?


@ MrPSI

Ich habe den vorherigen beitrag gelöscht, weil es totaler Unsinn ist , was da geschrieben wurde! Du brauchst dir also keine gedanken darüber zu machen.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke es sollte bekannt sein das das kreuzprodukt dir einen vektor liefert der auf der ebene die die anderen beiden vektoren aufspannen senktrecht steht.


wenn man nun b und a vertauscht, dann musst du dir das so vorstellen als würdest du das ganze koord-sys auf den kopf stellen. dann zeigt der bektor also entgegengesetzt des ersten vektors.
also ist er negativ.

mit anderen worten:

hab dazu noch ein bild angehängt ums klar zu machen Augenzwinkern


zum assoziativ-gesetz:

allgemein sollte bekannt:

analog gilt

einleuchtend oder ?

servus
Xytras Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht beantowrtet wiki ja Deine Frage smile
Musst einfach mal in der komponentenweise Berechnung a und b vertauschen und sehen was rauskommt... Schreibarbeit aber danach sollte es klarer sein - ansonsten schau Dir auch mal die Mathworld-Seite (hier) und die definition des Kreuzproduktes dort ueber Determinanten an, falls Du Dich mti der Definition wohler fuehlst als mit der Komponentenweisen smile

Viel Erfolg!

edit: Argl... Zu langsam (mal wieder)
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

also, dass das Koordinatensystem dabei "auf den Kopf gestellt" wird, ist für mich eigentlich überhaupt nicht logisch.
und das mit dem Assoziativgesetz ist zwar einleuchtend, aber nicht gerade mathematisch.

@Xytras
wir haben in der Schule eine ähnliche Rechenregel kennengelernt, in der die Koordinaten als Matrizen dargestellt wurden und dann eben kreuzweise multipliziert und dann subtrahiert wurde.

Auf die Idee mit dem Vertauschen bin ich auch schon gekommen, habs dann aber verworfen, weil sich dann wieder die Frage stellt, wieso bei dieselbe Rechenregel gilt, wobei wir dann wieder bei der Herleitung wären, um dort nach Veränderungen zu suchen.
 
 
Xytras Auf diesen Beitrag antworten »

eeeh - sorry - kann sein, dass ich Deine Frage nu voellig falsch versteh aber Du hast doch die Komponentenweise berechnung von als definition. Da vertauschst Du dann nur ncoh die bezeichnungen "a" und "b".
Wenn das nicht geht dann muesste ja auch ncoh und... neu definiert werden und ueber Zahlenwerte waer noch lange nix gesagt.

Also: einfach in der Definition und , usw. vertauschen... Dann solltest Du das direkt aus der definition erkennen...

Oder hab ich das Problem nu voellig misverstanden?!?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

b X a oder a X b = ...

das kannst und musst erstmal als Definition sehen und dann kannst
zeigen wie sich das über die Komponenten ausdrücken lässt,

oder du definierst das über die Komponenten und zeigst dann,
dass das Resultat immer senkrecht steht auf a, als auch auf b


Die Rechenregeln folgen dann unmittelbar daraus.


Zitat:
Original von Lazarus
analog gilt
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

im schulbuch hat man es so erklärt: man hat gewisse Definitionen gemacht(z.B.: das Kreuzprodukt von a und b steht normal auf die beiden Vektoren) und dann über diese Bedingungen die Formenl für die einzelnen Normalvektorkoordinaten hergeleitet. Und diese Formeln lassen sich als Matrizen darstellen, bei denen kreuzweise multipliziert wird und dann subtrahiert.

Nur möchte ich gern wissen, wieso man vertauschen kann, sprich, wieso hier die gleichen(bis auf den Umtausch der Komponenten) Formeln gelten. Nämlich wenn ich das weiß, kann man alles ganz schön von Grund auf Begründen.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab nochmal im meinem Schulbuch nachgeguckt und da gibts ne aufgabe, die Gleichung mit geometrischen Überlegungen oder rechnerisch zu begründen, und zwar unter zuhilfenahme einer Definition, die wie folgt lautet: Das Kreuzprodukt bildet mit a und b ein Rechtsystem.

Doch wie soll ich das nur machen?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
ich hab nochmal im meinem Schulbuch nachgeguckt und da gibts ne aufgabe, die Gleichung mit geometrischen Überlegungen oder rechnerisch zu begründen, und zwar unter zuhilfenahme einer Definition, die wie folgt lautet: Das Kreuzprodukt bildet mit a und b ein Rechtsystem.

Doch wie soll ich das nur machen?


was meinst du damit?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

MrPSI braucht vielleicht eine anschauliche Erklärung für das Rechtssystem - bitte sehr:

Es heißt zwar immer, man soll nicht mit Fingern rechnen, aber hier kann man mal eine Ausnahme machen:

... ausgestreckterDaumen

... ausgestreckter Zeigefinger

... abgewinkelter Mittelfinger

Nun ist das hier kein Orthogonalsystem, also kann man die Stellung des Daumens in der Ebene der Handfläche auch noch etwas variieren - zwischen 0 und bis zu 180 Grad relativ zum Zeigefinger (bei sehr beweglichen Zeitgenossen Augenzwinkern ), aber nicht weiter!

Tja, und wenn du jetzt bei die Rollen von Daumen und Zeigefinger vertauschst, wo zeigt der Mittelfinger dann hin?


EDIT: Das wichtigste habe ich natürlich vergessen: Die RECHTE Hand verwenden! smile
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

zuerst einmal ein Danke an euch, weil ihr mit mir so viel Geduld habt.

arthur dent hat mir den geometrisch anschaulichen Teil gezeigt.

aber wie sieht es rechnerisch aus bzw. wie kann ich diese Regel herleiten?

edit: aber bitte nicht mehr wieder mit diesem Vertauschen, denn dann stellt sich für mich wieder die Frage, wieso bei diese Matrizen-Regel angewandt werden kann.

mfg MrPSI
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

brauchst doch nur und anschließend



zu bilden dann siehst du es!




____zusammengefügt von jochen - bitte editieren, keine doppelposts____

Zitat:
Original von MrPSI
.... wieso bei diese Matrizen-Regel angewandt werden kann.

mfg MrPSI



also Psi, das ist ne ganz blöde frage! sorry!

ist doch auch ein kreuzprodukt, warum sollte es denn hier andere regeln gelten als bei
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

und ich dachte Mathematiker seien in solchen Sachen extrem pingelig und würden jede Kleinigkeit beweisen wollen.

aber wenn die Mathematik auch einfache logische Begründungen erlaubt, dann soll es mir recht sein.

Danke für die Hilfe smile .
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

eeehh.... eine frage hat sich mir doch noch aufgedrängt, und zwar folgende:
arthur dent hat mir das rechtsystem weiter oben erklärt, aber ich frage mich ob a immer auf dem daumen, b immer auf dem zeigefinger und a immer links von b liegen muss, damit der Normalvektor nach oben gerichtet ist?
Denn an der Formel ist ja nicht erkennbar, ob a links von b liegt, aber es kommt doch immer ein nach oben gerichteter Normalvektor raus, oder?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
Denn an der Formel ist ja nicht erkennbar, ob a links von b liegt, aber es kommt doch immer ein nach oben gerichteter Normalvektor raus, oder?


a x b ist ein Ausdruck der eine Orientierung hat und da haben
a und b in der Tat unterschiedliche Bedeutung, erkennbar daran
dass zB b rechts vom 'Kreuz' steht. Und genau diese Bedeutung wird
durch das Rechtssystem geregelt, das hier mit zu der Derfinition des
Kreuzproduktes benötigt wird.

Der linke Vektor vorm Kreuz ist der Daumen, der rechts vom Kreuz
stehende, der Zeigefinger und das Produkt selbst jener Mittelfinger.
Wo ist dein Problem ?
Im praktischen Fall musst das 'Fingersystem' passend korrekt auf
die Vektoren aufsetzen um die Richtung des Zielvektors zu erhalten,
der dann durchaus auch nach unten zeigen kann.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

smile ach so, dann hat man also definiert, dass a links vorm Kreuz und b rechts vorm Kreut liegt. Deshalb braucht man auch die zur Definiton des Kreuzproduktes das Rechtsystem, hab nämlich immer gerätselt warum.

und ich hab mir noch einmal Gedanken über dieses Vertauschen in der Kreuzproduktformel gemacht und bin draufgekommen, dass man das eigentlich gar nicht darf. unglücklich

Mein Gedankengang war folgender:
Zur Herleitung von hat man ja bestimmte Definitionen gemacht, daraus ein geeignetes Gleichungssystem gebastelt und dann für jede Normalvektorkoordinate die Formel hergeleitet.
Wenn ich jetzt von Grund auf herleiten will, so werden ja die gleiche Definitionen gemacht, woraus dann das exakt gleiche Gleichungssystem entsteht und schlussendlich die exakt gleiche Formeln für die Normalvektorkoordinaten(also auch ein gleiches Ergebnis) rauskommt.
Damit wäre gezeigt, dass unabhängig von der Anordnungsweise( also oder )die Formelvariablen exakt gleich angeordnet sind und daher das Umtauschen eigentlich nicht gilt. geschockt

Aber da es extrem unwahrscheinlich ist, dass ich jetzt den Mathematiker, der das Kreuzprodukt entwickelt hat, widerlegt habe, hab ich wohl nen Denkfehler gemacht. Nur wo? verwirrt
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Warum liest nicht richtig ?

Das Kreuzprodukt ist erstmal eine Definition, das kannst nicht herleiten.
Du kannst nur Eigenschaften und Folgerungen die sich daraus ergeben
herleiten usw.

Eine davon ist, dass a X b = - (b x a) ist,
was ist daran so verwunderlich, es gibt schlimmere Zusammenhänge.

Du brauchst doch nur die 'Fingerregel' anwenden um auf den
Zusammenhang zu kommen.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

ähm...mit Kreuzprodukt herleiten, mein ich das Herleiten der Formeln umd den Normalvektor zu berechnen.

und in meinem Gedankengang kommt eben raus. Wo hab ich denn nun falsch gedacht?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

dann zeigt doch mal deine rechnung und ich sage dir wo es falsch ist!
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt keine Rechnung. Meine Behauptung kommt durch die Logik zustande.


die Herleitung hab ich aus meinem alten Schulbuch:

es gibt drei Definitionen für das Kreuzprodukt.

1. Das Kreuzprodukt steht normal auf a und b
2. Der Betrag des Kreuzproduktes ist das zw. a und b aufgespannte Parallelogramm
3.Das Vektortripel (a|b|aXb) bildet ein Rechtssystem

Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:

I.
II.
III.

Drückt man aus dem System (I.,II.) die Koordinaten und mit Hilfe von aus, so erhält man:



Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die Gleichung III sieht man: Die Gleichung wird genau dann erfüllt, wenn . Daraus folgt



Und dieselben Definitionen gelten ja auch für .
Daraus folgt dasselbe Gleichungssystem und schlussendlich diesselben Formel für die Normalvektorkoordinaten, sprich, dasselbe Ergebnis.
Dadurch gilt dann . Und es können daher auch nicht die Koordinaten vertauscht werden; egal, wie die Anordnungsweise der Vektoren(also entweder oder ), die Koordinaten müsse logischerweise immer an derselben Stelle in der Formel sein.

Ist jetzt meine Behauptung verständlich?
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ähm...mit Kreuzprodukt herleiten, mein ich das Herleiten der Formeln umd den Normalvektor zu berechnen.

Meinst du, du willst eine Formel für einen Vektor herleiten, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren steht? Dann kann natürlich bei beiden 'Herleitungen' dasselbe herauskommen - nur ist das eben nicht das Kreuzprodukt, denn es gibt immer zwei Vektoren (wenn man die Vektorlänge unberücksichtigt lässt), bei denen das der Fall ist. Das Kreuzprodukt ist dagegen so definiert, dass eindeutig ist und sich von unterscheidet (nämlich genau so, dass sie einander entgegengesetzt sind).
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

das Kreuzprodukt??? Wie soll es sowas geben, wenn es doch zwei Kreuzprodukte gibt, sprich zwei Normalvektoren?

Ich glaub jetzt check ich gar nix mehr.
Differentialrechung - kein Problem.
Integralrechung - versteh ich auch noch.

Aber beim Kreuzprodukt ist bei mir anscheinend Hopfen und Malz verloren.
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt aber für fixierte a,b nur ein Kreuzprodukt (also einen Vektor) . "Kreuzprodukt " ist nicht dasselbe wie "Normalenvektor zur durch a und b aufgespannten Ebene". (Jedes Kreuzprodukt ist ein solcher Normalenvektor, aber eben nur einer (und zwar ein ganz bestimmter) von unendlich vielen (oder 2, wenn man die Länge nicht berücksichtigt))
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

ich checks nicht mehr...

wenn ich aXb als eindeutiges Kreuzprodukt definiere und bXa laut Herleitung dasselbe Ergebnis liefert, so muss doch bXa = aXb gelten.

Zitat:
Original von 4c1d
Das Kreuzprodukt ist dagegen so definiert, dass eindeutig ist und sich von unterscheidet (nämlich genau so, dass sie einander entgegengesetzt sind).

und ich wusste gar nicht, dass aXb = -(bXa) eine Definition ist.
und wieso definieren, die sowas? die sollen sich an Logik und Formel halten und nicht was frei aus der Luft definieren.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wenn ich aXb als eindeutiges Kreuzprodukt definiere und bXa laut Herleitung dasselbe Ergebnis liefert, so muss doch bXa = aXb gelten.

es liefert ja eben nicht dasselbe und das hat 41c1d mehr als eindeutig auch gesagt
das kannst du sowohl nachrechnen als auch mit den fingern nachprüfen

dass axb=-(bxa) ist folgt doch auch sofort aus rechnung oder deinen 3 regeln, die du oben aufgeschrieben hast

vertausche daumen und zeigefinger, dann geht der mittelfinger direkt in die andere richtung, bleibe aber gleich lang Augenzwinkern
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
dass axb=-(bxa) ist folgt doch auch sofort aus rechnung oder deinen 3 regeln, die du oben aufgeschrieben hast



das folgt aus meinen 3 Regeln? wie denn?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
1. Das Kreuzprodukt steht normal auf a und b

damit gilt schon mal axb=c*(bxa), also ein vielfaches
Zitat:
2. Der Betrag des Kreuzproduktes ist das zw. a und b aufgespannte Parallelogramm

damit gilt auf jeden fall c=1 oder c=-1, denn die sind gleichlang
Zitat:
3.Das Vektortripel (a|b|aXb) bildet ein Rechtssystem

und damit kannst du dann (mit dem fingersystem erkenntlich) c=1 ausschließen

mfg jochen
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

ok, gut, danke jetzt hab ich es verstanden. smile
Xytras Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
...
...


...

wir vertauschen:
und
und
und .
dadurch erhalten wir:




also



So kannst Dus anhand der von Dir hergeleiteten Formeln auch rechnerisch verifizieren...
savage Auf diesen Beitrag antworten »

Habe den Thread mal mitverfolgt. Mir ist nur nicht klar, warum man unbedingt die rechte Hand nehmen muss? Es ist doch egal welche Hand man nimmt, solange man den daumen als den a vektor und den teigefinder als den b verktor definiert belibt doch alles gleich? Oder gibt es da dennoch einen unterschied?
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