Hilfe bei Extremwertbeispiel

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Hagoles Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe bei Extremwertbeispiel
Ich war nicht sicher, ob das hier reingehört, hoffe, ich bin richtig.

Einem geraden Drehkegel mit dem Grundkreisradius r = 20 cm und der Höhe h = 35cm soll der volumsgrößte Drehzylinder eingeschrieben werden. Welche Maße (Radius, Höhe) hat er? (Weise das Maximum nach!) Wie groß sind die beiden Volumina? (Runde auf Ganze!)


Habe leider keine Ahnung, wie ich das Ausrechnen soll,
kann mir das bitte einer erklären?

Danke im Vorraus, ich bräuchts eigentlich bis morgen^^
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist die Hauptbedingung? (-> Volumen Zylinder ...)
x sei der Radius und y die Höhe des Zylinders.

Nebenbedingung: Achsenschnitt des Kegels -> gleichschenkeliges Dreieck, diesem ist ein Rechteck (Länge 2x, Höhe y) symmetrisch zur Kegelhöhe eingeschrieben! x ist der Radius des Zylinders. Mittels Ähnlichkeit Beziehung zwischen r, h, x, y herstellen, in HB einsetzen, ableiten, ...

Mach mal, wenn du hängst, helf' ma schon weiter!

mY+
Hagoles Auf diesen Beitrag antworten »

HB: V = (20-x)² . pi . y

NB: 35 : y = 20 : x -> 35x = 20y -> y = 35x/20


V= (20-x)² . pi . 1,75x

1. Ableitung: = 0
2(20-x) . -1 . pi . 1,75 = 0
(-40+2x) . pi . 1,75 = 0
(-40pi + 2xpi) . 1, 75 = 0
-219,12 + 11x = 0
219,12 = 11x
20 = x

Und wie gehts jetzt weiter?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dir ist das x nicht der Radius, wie vorgeschlagen, sondern das kleine Stück zwischen Zylinder- und Kegelradius. Anyway, so sollte es auch gehen ...

Dein Fehler ist der, dass du falsch differenziert hast. Jeden Faktor einzeln ableiten, das geht natürlich nicht so. Entweder du verwendest die Produktregel oder du multiplizierst vorher aus.

Dann sieht die Ableitung natürlich anders aus und liefert beim Nullsetzen auch vernünftige Werte. Nicht auf die 2. Ableitung vergessen, zur Verifizierung des Extremums.

mY+
Hagoles Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Versuch:

V = (20-x)² . pi . 1,75x

V = (400-80x+x²) . 1, 75x . pi
V = 700xpi-840x²pi+1,75x³pi

1. Ableitung: = 0
0 = 700pi-1680xpi+5,25x²pi
0 = x²-3158,27x+1315,95
x1,2 = 1579,14 +/- 1578,72
x1 = 3157,86
x2 = 0,41

Das sieht jetzt irgendwie komisch aus.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Faktoren 1,75 und pi kann man von vornherein weglassen, weil sich die Extremstelle bei Division durch eine Konstante nicht ändert.


EDIT: Schreibfehler, richtig ist



daraus ->





[Nur eine der Lösungen ist brauchbar, sie ist 20/3]

Übrigens:
Dein Fehler liegt schon bei der Berechnung des V (840 .. in der Mitte ist falsch)

mY+
 
 
Hagoles Auf diesen Beitrag antworten »

0 = 400 - 160x + 3x^2
0 = 133,33 - 53,3x + x^2
x1,2 = 80/3 +/- 24,01
x1 = 50,7
x2 = 2,63

mir kommt das raus.
wenn dein ergebnis richtig ist, was mach ich danach?

(zur Zeit total schwimm)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Leider habe ich mich oben verschrieben, entschuldige bitte!
Richtig muss es heissen




[EDIT: Schreibfehler korrigiert]

Nun endlich ist

x1 = 20 (nicht brauchbar, muss ja kleiner als 20 sein)
x2 = 20/3 = 6,7 cm

Aus dem x kannst du nun auch über die NB das y berechnen (die Maße des Zylinders) und letztendlich das Volumen.

Mit der 2. Ableitung musst du noch prüfen, ob ein Maximum vorliegt. Wie geht das?

mY+[/quote]
Hagoles Auf diesen Beitrag antworten »

y=11,725cm
V=6515,77cm³

2. Ableitung:
-160x+6x < 0 --> daher ist es ein Maximum glaube ich.

Vielleicht sollte ich die alten Regeln abzuleiten wiederholen,

stimmt das jetzt?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

(bei dir offensichtlich Rundungsfehler?)



2. Abl. < 0 , deswegen Max., das ist richtig.

mY+
Hagoles Auf diesen Beitrag antworten »

Eine schwere Geburt.
Aber jetzt ist es Fertig, oder? Außer das V vom Kegel, darauf kann selbst ich verzichten.
Rare676 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Leider habe ich mich oben verschrieben, entschuldige bitte!
Richtig muss es heissen





Nun endlich ist

x1 = 20 (nicht brauchbar, muss ja kleiner als 20 sein)
x2 = 20/3 = 6,7 cm

Aus dem x kannst du nun auch über die NB das y berechnen (die Maße des Zylinders) und letztendlich das Volumen.

Mit der 2. Ableitung musst du noch prüfen, ob ein Maximum vorliegt. Wie geht das?

mY+
[/quote]


Ich weiss nicht, ob es hier ein Schreibfehler ist, aber deine Ableitung ist auch hier noch nicht richtig. (2. Summand)
Hagoles Auf diesen Beitrag antworten »

80x^1 müsst heißen, oder`?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, danke euch beiden.
Editiert.

mY+
Hagoles Auf diesen Beitrag antworten »

ist mein ergebnis trotzdem richtig?
______________________

stimmt mein ergebnis jetzt noch?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nicht drängen und keine Mehrfachposts hintereinander!
--------------

Es stimmt dennoch, du hast ja offensichtlich meine Ergebnisse genommen. Der Fehler wirkt sich jedoch bei der 2. Ableitung aus. Dies ist nunmehr



Dort musst du für einsetzen:



Puhhh, noch immer negativ, passt also für's Maximum Big Laugh

mY+
Hagoles Auf diesen Beitrag antworten »

Der Doppelpost tut mir leid, ich hatte vergessen, bereits gefragt zu haben,
und als ich es bemerkte konnte ich nicht löschen, weil ich 20 Minuten warten musste.

---

Dann habe ich ein Ähnliches Beispiel, von dem ich den Ansatz auch nicht verstehe,
ich muss da wohl erst reinkommen.

Einem gleichseitigen Zylinder (d=h) r=3cm ist ein Drehkegel von kleinstem Volumen zu umschreiben. (außenrum)
Berechne die Maße und Volumen des Kegels.

Meine Gedankenwege:

HB: V=(r^2pih)/3
NB: 3:r = 6:h
NB h = 3r

V = (r^2 . pi . 3r)/3

Stimmt das soweit? Mir kommt nämlich was Falsches raus.

Danke im Vorraus
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

HB ist ok, bei der NB ist die Proportion falsch. Richtig heisst sie

3 : r = (h - 6) : h

Die kleine Höhe im oberen Dreieck ist die Differenz von der Kegelhöhe h und der Zylinderhöhe 6.

mY+
Hagoles Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe, wir haben heute die beiden Beispiele in der schule gemacht,
und ich bin drauf gekommen, dass sie sehr einfach sind, wann man nur die skizze zweidimensional macht.

ich habe irgendwie hässliche 3-dimensionale zylinder und kegel gezeichnet,
kein Wunder, dass ich da den Überblick verloren habe.

Ich habe mein Wissen dadurch wieder zurückbekommen,
wir sehen uns bei meinem nächsten Problem^^

Gruß, Hagoles
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