lin. Abbildungen

14.09.2005, 13:43

Parry

lin. Abbildungen

Hallo,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe...
ich soll die Matrizen von F und G bestimmen, wobei F die Spiegelung an der Geraden $\begin{eqnarray*} y = -\frac{\sqrt{3}}{3} x \end{eqnarray*}$ darstellt und G eine Drehung am Ursprung um 45 Grad.

Danach wird noch das Bild des Dreiecks A(0,0) B(4,0) C(2,2) unter G ° F verlangt.

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Vielen DAnk schon im voraus!!!
G, Parry

14.09.2005, 14:02

Mazze

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Schreib mal auf was Spiegelung und Drehung heißt. Dann sieht man schon bissel was. Die Abbildungun gehen ja von

R² -> R²

Wie müssen dann die Matrizen zur Abbildung aussehen?

Weißt Du wie man aus Funktionswerten eine lineare Abbildung bastelt?

edit

hab die Dimensionen der Vektorräume der Abbildung richtig gestellt. Sry

14.09.2005, 15:12

Parry

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in der Aufgabe steht nichts weiter...
Eine Spiegelung von y=x wäre doch: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Frage ist nun, wie ich auf F(e1), F(e2) komme!?

14.09.2005, 16:22

Mazze

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nehme Dir 2 bel. Punkte die nicht auf der Geraden

$\begin{eqnarray*} y = -\frac{\sqrt{3}}{3} x \end{eqnarray*}$

liegen und nicht dem Nullvektor entsprechen. Spiegel sie dann an der Geraden. Dann hast Du e1,e2 und
f(e1),f(e2). Daraus kannst Du die Matrix bauen. und ja es ist eine 2x2 Matrix.

Die Matrix für die Spiegelung an x = 0 ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Meine Frage ist nun, wie ich auf F(e1), F(e2) komme!?

Die Funktionswerte sind jeweils die Drehung oder die Spiegelung an der Geraden. Es reichen jeweils 2 Funktionswerte !

15.09.2005, 14:08

Parry

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wie kommst du darauf, dass die Spiegelung von y = x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist?

meine matrix (1,0;01) stammt von einem mathelehrer!?

Ich benötige Hilfe

denn ich checke deine ausführungen nicht ganz!
Sorry, aber ich wäre froh, wenn du dich nochmals bemühen könntest Augenzwinkern

gruss, parry

15.09.2005, 14:29

Mazze

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Danke das Du mich nochmal drauf hingewiesen hast die Matrix die ich angegeben hab ist die Spiegelung an x = 0. Ich Editier das gleich unten zeig Dir dann aber auch gleich wie man das macht.

Also ich erläuter Dir mal wie ich auf die Spiegelunsmatrix für x = 0 gekommen bin. Zunächst schaut man nach von wo nach wo abgebildet wird. Offensichtlich geht die Abbildung vom R² in den R² also wissen wir schon das wir eine 2x2 Matrix brauchen. Das heißt auch wir brauchen 2 Funktionswerte um die matrix aufzustellen.

Ich wähle jetzt 2 Punkte und spiegel sie.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um verständlich zu machen was was ist

$\begin{eqnarray*} e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_1) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_2) = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Unsere matrix sieht so aus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und wir wissen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus basteln wir jetzt ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 unbekannten.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das lösen wir und wir bekommen die Koeffizienten der Matrix

17.09.2005, 06:34

Parry

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Danke für die ausführlichen Erklärungen. Jetzt ist mir alles klar smile

Ich habe inzwischen auch die Spiegelungsmatrix kennengelernt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2cos^2\gamma -1 & 2cos\gamma sin\gamma \\ 2cos \gamma sin\gamma & 2sin^2\gamma -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit dieser könnte man ja jetzt auch x=0, bezw. y=0 rechnen, indem man für $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ den entsprechenden Wert einsetzt.

Wie rechnet man aber nun den Winkel bei der Gleichung, die ich am Anfang geschrieben habe? $\begin{eqnarray*} - \frac{\sqrt{3}}{3} x \end{eqnarray*}$
Ich kann mir das grafisch nicht vorstellen...

Danke und Gruss,
Parry

17.09.2005, 17:17

Mazze

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Welchen Winkel meinst Du?

18.09.2005, 08:21

Parry

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Weitere Frage:

für x=0 setze ich doch einfach in der Formel die x11 und x12 auf Null. Wenn ich aber bei y11 und y12 1 eingebe bekomme ich etwas ganz komisches!?

für y=0 dasselbe, wobei ich einfach y11 und y12 auf null setzte..!?

Gruss, Parry

18.09.2005, 11:26

Parry

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Ich meine, es muss doch den Winkel der Geraden ausgerechnet werden um diesen dann in die gegebene Formel einsetzten zu können!?

18.09.2005, 11:33

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$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist der Anstiegswinkel der Spiegelgeraden, d.h., deren Geradengleichung kann man auch so

$\begin{eqnarray*} y = \tan\gamma \cdot x \end{eqnarray*}$

schreiben.

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