Fachreferat Newton-Iteration |
| 05.03.2008, 19:23 | legorado | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Fachreferat Newton-Iteration erstmal will ich sagen, dass ich die letzten Tage schon mehrere Stunden hier im Forum, wikipedia und diversen anderen Seite gelesen habe. Ich soll meinen Mitschülern (Berfusoberschule 12 Klasse, führt in einem Jahr zum Fachabi) das Newtonverfahren erklären. Wir haben bis jetzt weder Stetigkeit noch Folgen und Reihen behandelt. Zuerst wolle ich in dem Referat die Herleitung über Tangentengleich und Schnittpunkt mit der x-Achse zeigen, soweit ok. Wie kann ich denn nun sagen bzw. beweißen, dass der Schnittpunkt mit der x-Achse auch wirklich eine Näherung ist? Daraufhin nun die Wahl des "richtigen" Startpunktes Zuerst fertigt man eine Wertetabelle an und bekommt so ein Intervall für die Nullstelle. Nun sollte man noch prüfen ob der Graph in diesem Intervall konvex oder konkav ist. Falls konkav, also linkgekrümmt und somit f''(x)>0 sollte man sich von "rechts" an die Nullstelle nähern, da somit bessere Konvergenzbindingen vorhanden sind. Für rechtskrümmung entsprechend umgekehrt. Außerdem sollte man prüfen, dass f'(x) und f''(x) ≠ 0 sind. Ist das soweit in Ordnung? Zum schluss möchte ich noch ein paar Besonderheiten aufzeigen, z.b. anhand der Sinusfunktion und der Funktion Dazu habe ich in Geogebra das Newtonverfahren mit dynamischen Startwert erstellt und dazu eine Exceltabelle angefertigt. Über gebr. rat. Funktionen muss ich mir noch gedanken machen. Was würdet ihr noch mit aufnehmen? mfg Legorado |
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| 05.03.2008, 19:30 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Fachreferat Newton-Iteration
Ein Beweis für die Konvergenz des Newtonverfahrens (wenn die hinreichenden Bedingungen erfüllt sind) ist meines Erachtens nach ohne Kentnisse über Folgen und Reihen sowie deren Konvergenz nicht machbar. Denn die Iteration ist ja nichts anderes als eine rekursive Folge. Du musst dich also wohl auf eine anschauliche Erklärung beschränken. |
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| 05.03.2008, 21:28 | legorado | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich dachte mir, man könnte es evtl. auch über die Krümmung und der Lage des Startpunktes ausdrücken? |
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| 05.03.2008, 21:34 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das meinte ich ja mit "hinreichenden Bediungen" 
wie gesagt: du kannst das alles schön anschaulich erklären, wann und warum es bei manchen Bedinungen konvergiert und bei manch anderen nicht. Aber ein formaler Beweis kommt an Kentnissen über die Kovenvergenz von Folgen und Reihen nicht vorbei. |
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| 06.03.2008, 15:46 | legorado | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, ok, dann werde ich das ganze gut veranschaulichen, muss dann ja ausreichen. Nun suche ich gerade Beispiele für trigonometrische Funktionen, die ohne das Newtonverfahren nicht lösbar sind. Bis jetzt bin ich nur auf folgendes gestoßen: und Kann mir evtl. noch jemand ein Beispiel geben, dass etwas einfacher ist? Dieses +x hinter dem sinus haben wir z.b. noch garnicht behandelt, ebenso sin^3(x). Wir haben lediglich sin^2(x) Für "normale" Funktionen hab ich dort kann ich die Osszilation zeigen. Habt ihr außerdem noch nen Tipp, wie ich z.b. die Divergenz zeigen kann? Das angeführte Beispiel in wikipeadia mit halt ich für unbrauchbar, da man dies ja ganz locker mit dem arcsin berechnen kann. Gibt es zu meiner Startpunktwahl noch etwas zu sagen oder ist dass alles außreichend? Ich habe noch mit der Feststellung, dass in dem Intervall kein Extremum und Wendepunkt ist ein Problem, wie soll man das machen? Zuerst Ableitungen bilden und dann Extremum und Wendepunkte bestimmt ist denke ich nicht sooo super, da man dort ja evtl. auch wieder das Newtonverfahren benötigt. mfg legorado |
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| 06.03.2008, 17:07 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was willst du damit sagen? und zu weiteren beispielen: fast alle gleichungen der form sind ohne Näherungsverfahren nicht lösbar. (Also solche, in denen x einmal als argument einer trigonometrischen Funktion und einmal so vorkommt) also z.b. schon |
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| 06.03.2008, 17:31 | legorado | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, damit wollte ich genau dass sagen, dass x einmal im Argument vom sinus vorkommt und dann nocheinmal. Vielen Dank soweit. |
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| 10.03.2008, 18:09 | legorado | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hätte nun noch eine Frage, und zwar. Wenn ich auf gebr. rat. Funktionen eingehe, ist es auch hier ausreichend, nur den Zähler zu betrachten und dort die Nullstelle näherungsweiße zu bestimmen, oder? Wenn ich die komplette funktion in die Iretationsvorschrift einsetzten würde, hätte ich evtl. Problem mit den Polen. Ist das soweit richtig? mfg Legorado |
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| 10.03.2008, 18:11 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja es macht natürlich sinn nur den zähler zu betrachten. gerade bei der newton-iteration ist es ja sinnvoll, die gleichung so umzuformen, dass man die eine seite leicht ableiten kann. |
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| 10.03.2008, 18:38 | legorado | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Soweit so gut, wenn du jetzt noch nen Tipp für ne Funktion hast, die sich immer weiter von der Nullstelle entfert (divergiert) bei ungünstigem Startpunkt ist es perfekt. Für Osszilation habe ich das Beispiel aus wikipedia gewählt. mfg legorado |
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