Homogene Differentialgleichungen |
05.03.2008, 22:05 | Bauing | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Homogene Differentialgleichungen 1) Bei der DG y''+2*y'+µ*y=0 soll man µ jeweils so bestimmen das die DG -)nur beschränkte Lösungen besitzt -)nur unbeschränkte Lösungen besitzt Was ist gemeint mit beschränkt und unbeschränkt? 2) Dg: y''-y'-2*y=0 Lösen ist hier natürlich kein Problem als Ergebnis bekomme ich y=e^(2x)+e^(2x)*x, nur soll man noch zeigen das es sich bei den gefundenen Lösungen tatsächlich um alle handelt. Hat jemand ne Ahung wie das funktioniert? |
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06.03.2008, 14:07 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Google nach "beschränkte Funktion". |
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06.03.2008, 14:45 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diese Lösung passt nicht zu der angegebenen Dgl - mach mal die Probe! |
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06.03.2008, 20:57 | Bauing | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aja sry hab irrtümlich das Resultat einer anderen hingeschrieben... Es kommt natürlich y=e^(2x)+e^(-x) raus, aber wie kann ich zeigen, dass das die einzige Lösung ist? |
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06.03.2008, 21:09 | Bauing | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für den Tipp! Hab die Definition gefunden: Eine Funktion f(x) heißt nach oben beschränkt, wenn der Graph der Funktion auf ganz unterhalb eines oder gleich einem reellen Wert s bleibt y''+2*y'+µ*y=0 Warscheinlich ist bei dem beispiel gemeint, ab welchem µ das Ergebnis imaginär wird oder? Das heißt: Für µ=0 ist Lambda1=2 und Lambda2=0 (REELL(beschränkt)) Für µ=1 ist Lambda1=1 und Lambda2 auch 1 (REELL(beschränkt)) Bei µ=2 ist Lambda1=1+i und Lambda2=1-i Das heißt ab µ gleich 2 (negative Wurzel) werden die Ergebnisse imaginär oder? |
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06.03.2008, 22:10 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Funktion heißt beschränkt wenn , "Für µ=0 ist Lambda1=2 und Lambda2=0 (REELL(beschränkt))": Aha, warum sollte sie dann beschränkt sein? Denke nocheinmal genau nach wann sie beschränkt ist und wann nicht. Ist eigentlich natürlich oder warum hast du nur 0,1,2 angegeben? |
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06.03.2008, 23:09 | Bauing | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achja es ist genau umgekehrt Für µ=0 ist Lambda1=2 und Lambda2=0 und die Lösung dafür ist y=e^(2x), was natürlich unbeschränkt ist, da es gegen unendlich strebt. Also ist die Differentialgleichung bei µ=0 und µ=1 unbeschränkt oder? |
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06.03.2008, 23:41 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich dachte immer Lösungen haben noch so komische Konstanten dabei Und die Frage zum hast du noch nicht beantwortet. |
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07.03.2008, 00:19 | Bauing | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aja also y=e^(2x)+C aber das ist dann eine unbeschränkt Lösung richtig? µ muss nicht natürlich sein, habe nur 0,1,2 angegeben , weil ab 2 die Wurzel negativ wird. Meinst du liegt die beschränkte Lösung im negativen Bereich? Habe schon überlegt was eine beschränkte Lösung sein könnte, aber mir fällt keine ein? |
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07.03.2008, 00:24 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
eine Konstante vor der e-Funktion fehlt auch noch. aber ja die Lösung ist unbeschränkt. Gebe doch einmal die Eigenwerte abhängig von an, und dann siehst du das 2 nicht wirklich die Grenze ist. Die beschränkte Lösung liegt dann vor wenn die Eigenwerte komplex sind, weil dann keine e-Funktion sondern Cosinus und Sinus als Lösung rauskommt. edit: Mit Eigenwerte meine ich die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Aber ich kann mich ja immer noch rausreden in dem ich sage ich habe es in ein System 1. Ordnung transformiert |
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07.03.2008, 19:21 | Bauing | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich verstehe nicht ganz was du mit Eigenwerte in Abhängigkeit von µ angeben meinst? Ich verstehe auch nicht warum 2 nicht die grenze ist? Weil bei allen negativen µ ist die Wurzel Positiv, sowie auch bei µ gleich 0 und µ gleich 1. Das heißt, bis inklusive µ gleich 1 kommt eine e-Funktion raus, die gegen unendlich strebt. Das heißt bis inklusive µ gleich 1 ist die Funktion unbeschränkt oder? Und bei µ gleich 2 oder höher wird die Funktion beschränkt oder? |
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07.03.2008, 19:44 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Einige Anmerkungen: 1.
Nein, es ist und und damit die allgemeine Lösung . Dieser Vorzeichenfehler zieht sich durch einige deiner Beiträge. Es sei denn, der Vorzeichenfehler ist schon in der Dgl, und du sprichst die ganze Zeit über . 2. ist Lösung für alle . Damit hat sich die Teilfrage "für welche µ hat man nur unbeschränkte Lösungen" an sich erledigt - es sei denn, diese Triviallösung soll explizit außen vor gelassen werden. 3.Geht es wirklich um beschränkt/unbeschränkt auf ganz ? Oder nicht vielleicht doch nur auf der positiven Achse ? Etwa, wenn man das als Zeitachse betrachtet und mit Anfangswerten in t=0 ausgeht - da ist man im Anwendungsfall an Beschränktheit auch auf der negativen Achse eher weniger interessiert... |
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07.03.2008, 23:17 | Bauing | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja es geht um beschränkt/unbeschränkt auf ganz R und die DG wie ich sie oben hingeschrieben hab stimmt, ich dürfte mich in den vorigen Beiträgen nur vertipselt haben... also bei µ=0 ist die Lösung unbeschränkt, soweit ist es mir klar, aber für µ=1 kommt man auf den Doppeleigenwert Lambda=-1. Als Dg bekommt man in diesem Fall y=C*e^(-x)+C*e^(-x)*x Dabei handelt es sich doch auch um eine unbeschränkte lösung oder? |
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07.03.2008, 23:33 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist das Problem: Abgesehen von der Triviallösung (siehe Anmerkung 2) sowie den konstanten Lösungen im Fall sind alle (wirklich alle) Lösungen der Dgl, und zwar auch für alle unbeschränkt auf ganz : das sieht man, wenn man sowohl als auch betrachtet. Daher erscheint die Aufgabe reichlich sinnlos, und deswegen auch meine Anmerkung 3 - auf eingeschränkt sieht es ganz anders aus. |
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10.03.2008, 20:26 | Bauing | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja das Beispiel scheint mir ziemlich komisch zu sein..... Hast du auch eine Idee zu meiner 2ten Frage, wie ich bei der Dg y''-y'-2*y=0 zeigen kann, dass y=e^(2x)+e^(-x) die einzige Lösung ist, falls sie es ist? |
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