Homogene Differentialgleichungen

05.03.2008, 22:05

Bauing

Homogene Differentialgleichungen

Hallo, mir machen zwei DG Beispiele Probleme:

1) Bei der DG

y''+2*y'+µ*y=0

soll man µ jeweils so bestimmen das die DG
-)nur beschränkte Lösungen besitzt
-)nur unbeschränkte Lösungen besitzt

Was ist gemeint mit beschränkt und unbeschränkt?

2)
Dg: y''-y'-2*y=0

Lösen ist hier natürlich kein Problem als Ergebnis bekomme ich y=e^(2x)+e^(2x)*x, nur soll man noch zeigen das es sich bei den gefundenen Lösungen tatsächlich um alle handelt. Hat jemand ne Ahung wie das funktioniert?

06.03.2008, 14:07

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Google nach "beschränkte Funktion".

06.03.2008, 14:45

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bauing
Dg: y''-y'-2*y=0

Lösen ist hier natürlich kein Problem als Ergebnis bekomme ich y=e^(2x)+e^(2x)*x

Diese Lösung passt nicht zu der angegebenen Dgl - mach mal die Probe! unglücklich

06.03.2008, 20:57

Bauing

Auf diesen Beitrag antworten »

Aja sry hab irrtümlich das Resultat einer anderen hingeschrieben... Es kommt natürlich y=e^(2x)+e^(-x) raus, aber wie kann ich zeigen, dass das die einzige Lösung ist?

06.03.2008, 21:09

Bauing

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Google nach "beschränkte Funktion".

Danke für den Tipp! Hab die Definition gefunden:
Eine Funktion f(x) heißt nach oben beschränkt, wenn der Graph der Funktion auf ganz unterhalb eines oder gleich einem reellen Wert s bleibt

y''+2*y'+µ*y=0

Warscheinlich ist bei dem beispiel gemeint, ab welchem µ das Ergebnis imaginär wird oder?

Das heißt:

Für µ=0 ist Lambda1=2 und Lambda2=0 (REELL(beschränkt))
Für µ=1 ist Lambda1=1 und Lambda2 auch 1 (REELL(beschränkt))
Bei µ=2 ist Lambda1=1+i und Lambda2=1-i

Das heißt ab µ gleich 2 (negative Wurzel) werden die Ergebnisse imaginär oder?

06.03.2008, 22:10

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : I \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt beschränkt wenn $\begin{eqnarray*} \exists s\in \mathbb R :\forall x\in I: |f(x)| < s \end{eqnarray*}$ ,

"Für µ=0 ist Lambda1=2 und Lambda2=0 (REELL(beschränkt))":
Aha, warum sollte sie dann beschränkt sein? Denke nocheinmal genau nach wann sie beschränkt ist und wann nicht. Ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ eigentlich natürlich oder warum hast du nur 0,1,2 angegeben?

06.03.2008, 23:09

Bauing

Auf diesen Beitrag antworten »

Achja es ist genau umgekehrt

Für µ=0 ist Lambda1=2 und Lambda2=0 und die Lösung dafür ist y=e^(2x), was natürlich unbeschränkt ist, da es gegen unendlich strebt. Also ist die Differentialgleichung bei µ=0 und µ=1 unbeschränkt oder?

06.03.2008, 23:41

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte immer Lösungen haben noch so komische Konstanten dabei verwirrt

Und die Frage zum $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ hast du noch nicht beantwortet.

07.03.2008, 00:19

Bauing

Auf diesen Beitrag antworten »

Aja also y=e^(2x)+C aber das ist dann eine unbeschränkt Lösung richtig?

µ muss nicht natürlich sein, habe nur 0,1,2 angegeben , weil ab 2 die Wurzel negativ wird.
Meinst du liegt die beschränkte Lösung im negativen Bereich? Habe schon überlegt was eine beschränkte Lösung sein könnte, aber mir fällt keine ein? verwirrt

07.03.2008, 00:24

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

eine Konstante vor der e-Funktion fehlt auch noch. aber ja die Lösung ist unbeschränkt.
Gebe doch einmal die Eigenwerte abhängig von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ an, und dann siehst du das 2 nicht wirklich die Grenze ist.
Die beschränkte Lösung liegt dann vor wenn die Eigenwerte komplex sind, weil dann keine e-Funktion sondern Cosinus und Sinus als Lösung rauskommt.

edit: Mit Eigenwerte meine ich die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Aber ich kann mich ja immer noch rausreden in dem ich sage ich habe es in ein System 1. Ordnung transformiert Big Laugh

07.03.2008, 19:21

Bauing

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht ganz was du mit Eigenwerte in Abhängigkeit von µ angeben meinst? Ich verstehe auch nicht warum 2 nicht die grenze ist?

Weil bei allen negativen µ ist die Wurzel Positiv, sowie auch bei µ gleich 0 und µ gleich 1. Das heißt, bis inklusive µ gleich 1 kommt eine e-Funktion raus, die gegen unendlich strebt. Das heißt bis inklusive µ gleich 1 ist die Funktion unbeschränkt oder?

Und bei µ gleich 2 oder höher wird die Funktion beschränkt oder?

07.03.2008, 19:44

Auf diesen Beitrag antworten »

Einige Anmerkungen:

1.

Zitat:

Original von Bauing
Für µ=0 ist Lambda1=2 und Lambda2=0 und die Lösung dafür ist y=e^(2x)

Nein, es ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1=-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ und damit die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} y=C_1e^{-2x}+C_2 \end{eqnarray*}$ . Dieser Vorzeichenfehler zieht sich durch einige deiner Beiträge. Es sei denn, der Vorzeichenfehler ist schon in der Dgl, und du sprichst die ganze Zeit über $\begin{eqnarray*} y''-2y'+\mu y = 0 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

2. $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ ist Lösung für alle $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . Damit hat sich die Teilfrage "für welche µ hat man nur unbeschränkte Lösungen" an sich erledigt - es sei denn, diese Triviallösung $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ soll explizit außen vor gelassen werden.

3.Geht es wirklich um beschränkt/unbeschränkt auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ? Oder nicht vielleicht doch nur auf der positiven Achse $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ ? Etwa, wenn man das als Zeitachse betrachtet und mit Anfangswerten in t=0 ausgeht - da ist man im Anwendungsfall an Beschränktheit auch auf der negativen Achse eher weniger interessiert...

07.03.2008, 23:17

Bauing

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Einige Anmerkungen:

1.

Zitat:

Original von Bauing
Für µ=0 ist Lambda1=2 und Lambda2=0 und die Lösung dafür ist y=e^(2x)

Ja es geht um beschränkt/unbeschränkt auf ganz R und die DG wie ich sie oben hingeschrieben hab stimmt, ich dürfte mich in den vorigen Beiträgen nur vertipselt haben...

also bei µ=0 ist die Lösung unbeschränkt, soweit ist es mir klar, aber für µ=1 kommt man auf den Doppeleigenwert Lambda=-1. Als Dg bekommt man in diesem Fall y=C*e^(-x)+C*e^(-x)*x
Dabei handelt es sich doch auch um eine unbeschränkte lösung oder?

07.03.2008, 23:33

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das Problem: Abgesehen von der Triviallösung $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ (siehe Anmerkung 2) sowie den konstanten Lösungen im Fall $\begin{eqnarray*} \mu=0 \end{eqnarray*}$ sind alle (wirklich alle) Lösungen der Dgl, und zwar auch für alle $\begin{eqnarray*} \mu\neq 0 \end{eqnarray*}$ unbeschränkt auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ : das sieht man, wenn man sowohl $\begin{eqnarray*} x\to \infty \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x\to -\infty \end{eqnarray*}$ betrachtet. Daher erscheint die Aufgabe reichlich sinnlos, und deswegen auch meine Anmerkung 3 - auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ eingeschränkt sieht es ganz anders aus.

10.03.2008, 20:26

Bauing

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das Beispiel scheint mir ziemlich komisch zu sein.....

Hast du auch eine Idee zu meiner 2ten Frage, wie ich bei der Dg y''-y'-2*y=0 zeigen kann, dass y=e^(2x)+e^(-x) die einzige Lösung ist, falls sie es ist?

Neue Frage »

Antworten »

Homogene Differentialgleichungen

Verwandte Themen