Topologie / Abgeschlossenheit des Graphen

05.03.2008, 23:22	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie / Abgeschlossenheit des Graphen Guten Abend liebe Leute, vielleicht könnte mir ja jemand bei folgender Aufgabe etwas auf die Sprünge helfen, bzw. falls meine Versuche die Aufgabe zu lösen auf dem richtigen weg sind, mir vielleicht mitteilen, dass dem so ist. Die Aufgabe lautet: "Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion. Zeige, dass der Graph $\begin{eqnarray} G_f:=\{ (t,f(t)):t\in \mathbb R \} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine abgeschlossene Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ ist. Anleitung: Finde eine stetige Funktion $\begin{eqnarray} F: \mathbb R ^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} G_f \end{eqnarray}$ als Nullstellenmenge hat." Ich verstehe soweit die Anleitung, weil ja, wenn $\begin{eqnarray} G_f \end{eqnarray}$ die Nullstellenmenge so einer stetigen Funktion ist, dann wäre das Urbild von {0} gerade $\begin{eqnarray} G_f \end{eqnarray}$ und das wäre abgeschlossen, weil {0} abgeschlossen und F stetig. Bei der Suche nach so einer Funktion tu ich mir da schon etwas schwerer.. Meine Idee ist folgende: Ich definiere mir eine Funktion über den Abstand vom Graphen im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ , und zwar so: (wobei $\begin{eqnarray} (x,y) \in \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d'((x, y), G_f):=0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ (d.h. falls $\begin{eqnarray} (x,y) \in G_f \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} d'((x,y),G_f):=inf\{ d_2((x,y),(z,f(z)):z\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} y \neq f(x) \end{eqnarray}$ , wobei mit $\begin{eqnarray} d_2 \end{eqnarray}$ die euklidische Distanz im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ gemeint ist. Ich nehme also als Funktionswert einfach den kürzesten Abstand zum Graphen, also $\begin{eqnarray} F((x,y)):=d'((x,y),G_f) \end{eqnarray}$ . Haut das so hin? Vielen Dank schonmal fürs Durchlesen. Gruß Armin
08.03.2008, 10:48	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Die Aussage $\begin{eqnarray} d(x,A)=0\Leftrightarrow x\in A \end{eqnarray}$ ist gerade äquivalent zur Abgeschlossenheit von A. Wenn Du also behauptet, dass der Graph das Urbild von 0 unter der von dir angegebenen Funktion F ist, so verwendest Du bereits, dass der Graph abgeschlossen ist. Welche Bedingung gibt an, ob ein Punkt $\begin{eqnarray} (x,y)\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ im Graphen von f liegt? Forme dies um zu einer Gleichung und Du hast Dein F.
08.03.2008, 14:43	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
"Forme dies um zu einer Gleichung mit 0 auf einer Seite" sollte ich sagen, die Bedingung ist ja ohnehin eine Gleichung.
09.03.2008, 12:33	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das richtig verstehe, dann sollte die Funktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ demnach durch $\begin{eqnarray} F((x,y)) = f(x)-y \end{eqnarray}$ gegeben sein, weil dann $\begin{eqnarray} F((x,y))=0 \end{eqnarray}$ genau dann der Fall ist, wenn $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ , also genau dann wenn $\begin{eqnarray} (x,y) \in G_f \end{eqnarray}$ . Stetig ist das dann wegen Stetigkeit von f und Komposition (weil die Addition/Subtraktion stetig ist). Stimmt das so?
09.03.2008, 12:57	gothino	Auf diesen Beitrag antworten »
yep ich würde sagen das passt: F ist stetig und der Graph genau das Urbild von {0} einer abgeschlossenen Menge, also ist der Graph abgeschlossen Kann keinen Fehler in der Argumentation entdecken, habe das Bsp letztes Semester gerechnet und auch so in Erinnerung lg gothino
09.03.2008, 15:55	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mich auch noch erinnern, dass die lösung ganz einfach war und hab sie mir deshalb gar nicht aufgeschrieben. jetzt beim nochmaligen durchrechnen der übungsbeispiele macht es mir auf einmal probleme. seltsam. auf jeden fall vielen dank gruß Armin
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