Dringende Hilfe bei Extremwertaufgabe

14.09.2005, 16:01

Micha002

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Dringende Hilfe bei Extremwertaufgabe

Hallo,
Ich hab mit diesen Aufgaben ziemliche Schwierigkeiten, ich weiß z.b. bei folgender Aufgabe gar nicht was die überhaupt von mir wollen, sie lautet:

Welche quadratische Säule mit gegebenem Volumen hat die kürzeste Körperdiagonale?

Die Aufgabe ist ja wirklich nicht lang, aber wenn ich nur mit Ausdrücken arbeiten muss und nicht mit Zahlen, bin ich ziemlich überfordert unglücklich

unglücklich

edit: LaTeX-Tags entfernt. (MSS)

14.09.2005, 16:02

Micha002

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Welche quadratische Säule mit gegebenem Volumen hat die kürzeste Körperdiagonale?

14.09.2005, 16:14

MrPSI

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Die Körperdiagonale ist die Diagonale, die von einem unteren Punkt des Körpers schräg durch diesen zu einem oberen Punkt verläuft.

jetzt musst du nur noch eine Formel für diese Diagonale finden. Welche Eigenschaften diese Formel haben muss um diese Aufgabe lösen zu können sollte dir ja mittlerweile geläufig sein.

mfg MrPSI

14.09.2005, 16:15

sqrt(2)

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Wenn du die Lösung der Aufgaben mit dem Einzäunen eines Rechtecks mit einem Zaun fester Länge kennst, kommst du auch ohne Rechnung hier zum Ziel. Ansonsten:

Eine quadratische Säule mit der Grundseite $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und der Höhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ hat das Volumen

$\begin{eqnarray*} V=a^2\cdot h \end{eqnarray*}$ .

Das Volumen darfst du als bekannt, also als Konstante betrachten. Wie lang ist jetzt eine Raumdiagonale durch solch eine Säule (die nur ein Quader mit den Seitenlängen a, a und h ist) in Abhängigkeit von a und h? Entferne eine der beiden Variablen (a oder h), indem du die Volumenformel von oben anwendest. Dann hast du deine Zielfunktion. (Bevor du weiterrechnest, lässt sich diese fürs Ableiten aber noch angenehm vereinfachen, wenn du nicht drauf kommst poste sie hier.)

14.09.2005, 16:41

Micha002

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so also:

Wir müssen ja nach einem Bestimment Schemata arbeiten, wo ich als erstes die Extremalbedigung angeben muss, also quasi dass k (Körperdiagonale) minimal werden soll. aber wie? schreib ich dann k²=h²+d² soll min. werden hinschreiben?

Als 2. soll die Nebenbedingung angegeben werden und da muss man dann die Zielfunktion hinschreiben.

Also so wie ich das jetzt von dir verstehe muss ich nach a oder h auflösen richtig?

Das versuch ich jetzt mal:

$\begin{eqnarray*} V = a² \cdot h \end{eqnarray*}$ |: a²
$\begin{eqnarray*} \frac{V}{a²} = h \end{eqnarray*}$

das ist dann meine Zielfunktion? verwirrt

verwirrt

14.09.2005, 16:47

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Micha002
schreib ich dann k²=h²+d² soll min. werden hinschreiben?

Ja, dann hast du die Vereinfachung schon mit drin ( $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ soll minimal werden).

Zitat:

Original von Micha002
$\begin{eqnarray*} \frac{V}{a²} = h \end{eqnarray*}$

das ist dann meine Zielfunktion? verwirrt

verwirrt

Nein, das ist deine Nebenbedingung (bei dir heißt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ allerdings $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ). Die setzst du in deine Ausgangsfunktion ein und erhältst die Zielfunktion.

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14.09.2005, 17:00

MrPSI

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Ich geb dir noch nen Tipp: d² kannste auch noch durch a ersetzen.

@sqrt(2):

du hast da glaub ich was übersehen, denn a ist nicht gleich d. mit d meint micha002 wohl die Diagonale der Fläche.

14.09.2005, 17:11

sqrt(2)

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Zitat:

Original von MrPSI
du hast da glaub ich was übersehen, denn a ist nicht gleich d. mit d meint micha002 wohl die Diagonale der Fläche.

Ah, klar, danke. Andernfalls hätte ich auch den fehlenden Faktor 2 übersehen.

14.09.2005, 17:37

Micha002

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So also "d" hab ich jetzt doch nicht benannt.
Ich hab jetzt folgendes gerechnet:

(also ab 3. dann):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2V:h + h²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k²(h)=2V:h +h² = k²(h)=2V\cdot h^{-1} +h² \end{eqnarray*}$

4.
$\begin{eqnarray*} k²'(h)= -1\cdot2V\cdoth^{-2}+2h = \frac{-2V}{h²} +2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2V}{h²} +2h = 0 \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} h=\sqrt[3]{V} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k²"(h)= \frac{2V}{h^{4}} +2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k²"(h)= \frac{2V}{\sqrt[n]{x}^{4} }= \frac{2V}{ V^{\frac{3}{4} } }+2>0 ---- relatives Minimum \end{eqnarray*}$

so nun bei 5. (der bezug zur aufgabe) komm ich nicht weiter, sofern bisher alles stimmt:

$\begin{eqnarray*} V=\sqrt[3]{V} \cdot a² \end{eqnarray*}$

soll ich jetzt nach a² auflösen? also:

$\begin{eqnarray*} \frac{V}{\sqrt[3]{V}}=a² \end{eqnarray*}$

14.09.2005, 17:40

Micha002

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So also "d" hab ich jetzt doch nicht benannt.
Ich hab jetzt folgendes gerechnet:

(also ab 3. dann):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2V:h + h²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k²(h)=2V:h +h² = k²(h)=2V\cdot h^{-1} +h² \end{eqnarray*}$

4.
$\begin{eqnarray*} k²'(h)= -1\cdot 2V\cdoth^{-2}+2h = \frac{-2V}{h²} +2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2V}{h²} +2h = 0 \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} h=\sqrt[3]{V} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k²''(h)= \frac{2V}{h^{4}} +2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k²''(h)= \frac{2V}{\sqrt[n]{x}^{4} }= \frac{2V}{ V^{\frac{3}{4} } }+2>0 ---- relatives Minimum \end{eqnarray*}$

so nun bei 5. (der bezug zur aufgabe) komm ich nicht weiter, sofern bisher alles stimmt:

$\begin{eqnarray*} V=\sqrt[3]{V} \cdot a² \end{eqnarray*}$

soll ich jetzt nach a² auflösen? also:

$\begin{eqnarray*} \frac{V}{\sqrt[3]{V}}=a² \end{eqnarray*}$

-nochmal überarbeitet- verwirrt

verwirrt

14.09.2005, 17:46

sqrt(2)

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Aufgrund der $\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\LaTeX\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$ -Fehler kann ich deinen Rechenweg so ohne weiteres nicht nachvollziehen, dein $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ ist aber richtig.

Du kannst noch weiter vereinfachen: $\begin{eqnarray*} a^2=\frac{V}{\sqrt[3]{V}}=\frac{\sqrt[3]{V}\sqrt[3]{V}\sqrt[3]{V}}{\sqrt[3]{V}}=\left(\sqrt[3]{V}\right)^2 \end{eqnarray*}$ .

14.09.2005, 17:52

Micha002

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Hm das ist jetzt wirklich was blöd, aber mein Endergebnis lautet dann:

$\begin{eqnarray*} k^{2}= (\sqrt[3]{V})² + (\sqrt[3]{V})² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k = \sqrt[3]{V} \end{eqnarray*}$

14.09.2005, 17:58

sqrt(2)

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Das ist allerdings falsch, du setzst hier $\begin{eqnarray*} d=a \end{eqnarray*}$ , was sich ja oben als Irrtum meinerseits herausgestellt hat. Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} d^2=2a^2 \end{eqnarray*}$ .

Nebenbei, überleg mal: Grundflächenseiten und Höhe haben die Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{V} \end{eqnarray*}$ . Mit was für einem Körper hast du es hier zu tun?

14.09.2005, 18:04

Micha002

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Also das ist natürlich ein Würfel
aber das mit dem d verwirrt mich jetzt total, weil ich die Aufgabe nochmal neu angefangen hab zu rechnen und dann "d" überhaupt nicht mehr benutzt hab, ich hab nur k, h und a

aah ich sehs glaub ich... ja dann ist das Endergebnis:

k = 2\sqrt[3]{V}

oder?

14.09.2005, 18:05

Micha002

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$\begin{eqnarray*} k = 2\sqrt[3]{V} \end{eqnarray*}$ (sorry --so)

14.09.2005, 20:11

sqrt(2)

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Das ist leider nicht richtig. Im Prinzip hast du ja schon $\begin{eqnarray*} a=\sqrt[3]{V} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V=a^2\cdot h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k^2=2a^2+h^2 \end{eqnarray*}$ . Das ist doch alles, was du brauchst.

14.09.2005, 21:19

Micha002

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Warum ist das denn nicht richtig? ich muss doch den bezug zur aufgabe wiederherstellen und die sachen die ich hab in die Extremalbedigung einsetzten

14.09.2005, 21:38

sqrt(2)

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Das ist nicht richtig, weil $\begin{eqnarray*} k\neq2\sqrt[3]{V} \end{eqnarray*}$ , nicht etwa, weil du nicht einsetzten solltest.

Da wir wissen, dass alle Kanten gleich lang sind:

$\begin{eqnarray*} k^2&=&d^2+h^2\\&=&a^2+a^2+h^2\\&=&3a^2 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a=\sqrt[3]{V} \end{eqnarray*}$ , das war ja dein Ergebnis.

14.09.2005, 21:39

Micha002

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Und was kommt dann raus?

14.09.2005, 21:39

sqrt(2)

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Das Einsetzen kannst du selbst.

14.09.2005, 21:48

Micha002

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also:

$\begin{eqnarray*} k²= 3 (\sqrt[3]{V})² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k= 3 \sqrt[3]{V} \end{eqnarray*}$

14.09.2005, 21:49

sqrt(2)

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Nein:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a\cdot b}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} \end{eqnarray*}$

14.09.2005, 21:56

Micha002

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Wo kommt denn jetzt auf einmal das "b" her? geschockt

geschockt

14.09.2005, 21:58

sqrt(2)

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Das sind nicht die $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ aus deiner Aufgabe, sondern eine allgemeine Formel, die du anwenden sollst!

Übrigens würde dich dir raten, dir den Gefallen zu tun und den Umgang mit Wurzeln zu wiederholen.

14.09.2005, 22:07

Micha002

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Sry aber ich kann dir jetzt überhaupt nicht mehr folgen, ich musste doch einfach nur noch das h und das a² in die Hauptbedingung einsetzten (k²=2a²+h²) und das wars? Warum jetzt noch ein "b"- ich glaub das ist irgentiwe nicht richtig

14.09.2005, 22:12

sqrt(2)

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Nochmal: a und b in meiner letzten Gleichung sind keine Variablen aus deiner Aufgabe! Ich habe dir vielmehr eine allgemeine Regel zum Wurzelziehen aus Produkten gegeben, denn dein Schritt

$\begin{eqnarray*} k^2&=&3\left(\sqrt[3]{V}\right)^2\\k&=&3\sqrt[3]{V} \end{eqnarray*}$

ist falsch.

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