Variationsrechnung

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06.03.2008, 21:31	Robotex	Auf diesen Beitrag antworten »
Variationsrechnung Ich hab ein Problem mit einer Variationsaufgabe: Man soll das Minimum von $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \vert\vert \dot{\gamma}(t) \vert\vert dt \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} X = \left\lbrace \gamma: [0,1] \to \mathbb{R}^{n} \vert \gamma \text{stetig diffbar}, \gamma(0) = p, \gamma(1) = q \right\rbrace \end{eqnarray}$ bestimmen, wobei $\begin{eqnarray} p, q \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ . Hat jemand eine Idee wie ich hier vorgehen könnte? Ich hab schon versucht $\begin{eqnarray} \vert\vert \dot{\gamma}(t) \vert\vert \end{eqnarray}$ in die Euler-Lagrange-Gl. einzusetzen (das gibt dann n Euler-Lang.-Gl.), aber so komme ich da nicht weiter, denn ich erhalte die zweite Ableitung von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ , die ja nicht unbedingt existieren muss (denn $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ist nur stetig diffbar.) Dann hab ich noch eine zweite (allgemeine) Frage. Wenn ich ein Funktional habe für das ich das Minimum finden soll, kann ich ja die Euler-Lagrange-Gl. aufstellen und versuchen zu lösen. Dann weiß ich aber erst, dass das Funktional stationär ist für diese Lösung. Aber ich kann ja nicht alleine daraus schließen ob ein Minimum vorliegt. Mit Hilfe welcher Kriterien könnte ich denn schließen, dass es dennoch vorliegt (ein paar Beispiele wären ganz hilfreich)? Vielen Dank Robotex
08.03.2008, 21:24	Robotex	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat jemand vielleicht eine Idee, Ansatz oder irgendetwas was mich weiterbringen könnte?
08.03.2008, 23:10	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du denn mal ein bißchen rumprobiert, wo das Minimum liegen könnte, etwa indem du das Integral für n=1, p=0, q=1 und verschiedene $\begin{eqnarray} \gamma (t) \end{eqnarray}$ aus X ausrechnest? Das dürfte dich schnell auf eine Vermutung führen. Diese Vermutung mit der Euler-Lagrange-Gleichung zu beweisen, ist allerdings tatsächlich nicht möglich, wie du bereits selber bemerkt hast. Der Raum X ist einfach "zu groß", du bekommst ohne zusätzliche Überlegungen nur eine Lösung im Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen, die die Nebenbedingungen erfüllen. Mein eigentlicher Tipp: Der Beweis geht im Fall n=1 recht schnell und elegant, wenn du die Jensensche Ungleichung verwendest, da die Norm eine konvexe Funktion ist. Wie man dies auf beliebiges n verallgemeinern kann ,sehe ich gerade nicht, aber vielleicht fängst du erstmal mit diesem leichten Fall an.
09.03.2008, 00:14	Robotex	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab das mal für n=1 (Norm entspricht dann dem Betrag), p=0 q=1 und $\begin{eqnarray} \gamma(t):= (1-t) \, t p + q \, t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma(t):=sin(x \pi /2) \end{eqnarray}$ ausgerechnet. Im 1. Fall erhalte ich für das Integral = 1/2 und im 2. Fall =1. Leider hab ich noch keine Vermutung, wo denn das Minimum liegen könnte bzw. wie ich dann die Jensensche Ungleichung anwenden soll.
09.03.2008, 00:27	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige bitte, ich nehme mal meinen Post komplett zurück. Mal wieder ein Denkfehler um die späte Uhrzeit.
09.03.2008, 13:18	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, nochmal der Fall n=1. Du kannst folgendermaßen abschätzen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \| \dot{\gamma}(t) \| \geq \| \int_{0}^{1} \dot{\gamma}(t)dt \| = \|\gamma(1)-\gamma(0)\|=\|q-p\| \end{eqnarray}$ Damit hast du auf der rechten Seite eine untere Schranke für das Funktional gefunden, die unabhängig von gewählten $\begin{eqnarray} \gamma\in X \end{eqnarray}$ ist. Außerdem hast du schon Funktionen gefunden, die diese untere Schranke realisieren, also Lösungen des Variationsproblems sind (zum Beispiel alle monoton steigenden, oder allgemein alle, bei denen die Ableitung ihr Vorzeichen nicht wechselt). Weshalb ich die Jensensche Ungleichung erwähnt habe: Das ist dieselbe Abschätzung, nur sieht es erstmal komplizierter aus. Die Betragsfunktion ist konvex. Mit einer konvexen Funktion f ist $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} f(\dot{\gamma}(t))dt \geq f(\int_{0}^{1} \dot{\gamma} (t)dt) = f (q-p) \end{eqnarray}$ Wieder hast du auf der rechten Seite eine von $\begin{eqnarray} \gamma(t) \end{eqnarray}$ unabhängige untere Schranke stehen. Mein Denkfehler war, daß ich dachte, daß in dieser Aufgabe eine Minimalstelle schwer zu finden ist, was aber nicht der Fall ist, da es ziemlcih viele Lösungen gibt. Wenn es jedenfall schwer wäre, ist der Vorteil dieser Formulierung, daß zu der Jensenschen Ungleichung sich auch leicht immer eine Funktion angeben läßt, bei der Gleichheit gilt, das erspart dir Sucherei oder Raterei. In diesem Fall ist diese durch die Bedingung $\begin{eqnarray} \dot{\gamma}(t)=const. \end{eqnarray}$ und die Anfangswerte bestimmt. Mit der Jensenschen Ungleichung geht meist auch eine Eindeutigkeitsaussage daher, also die Funktion, bei der Gleichheit angenommen wird, ist eindeutig bestimmt. Aber das gilt nur für streng konvexe Funktionen, und eine solche ist der Betrag nicht. Für beliebiges n müßte das ganze mit einer ähnlichen Abschätzung gehen.
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09.03.2008, 14:35	Robotex	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, ich betrachte den allgemeinen Fall. $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \vert\vert \dot{\gamma}(t)\vert\vert dt \geq \vert\vert \int_{0}^{1} \dot{\gamma}(t) dt \vert\vert = \vert\vert \gamma(1) - \gamma(0) \vert\vert = \vert\vert q - p \vert\vert \end{eqnarray}$ Gleichheit gilt, falls $\begin{eqnarray} \dot{\gamma}(t) = konstant \end{eqnarray}$ . Man könnte folgende Funktion angeben: $\begin{eqnarray} \gamma(t) = p - (p-q) \, t \end{eqnarray}$ . Die Euler-Lagrange-Gl. sind auch klar erfüllt. Kann ich jetzt einfach sagen, dass für diese Funktion das Minimum angenommen wird?
09.03.2008, 14:47	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
So einfach ist das dann doch nicht. Was soll das zweite Integral denn sein? Gamma bildet schließlich in den IR^n ab. Aber das Beispiel für die Funktion müßte stimmen. Wenn du es in der Form $\begin{eqnarray} \gamma(t)=tq+(1-t)p \end{eqnarray}$ , siehst du auch eher, daß das die Strecke mit den Endpunkten p und q ist.
09.03.2008, 14:57	Robotex	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, das ist eine gute Frage mit dem 2. Integral, da hab ich nicht aufgepasst Aber wie soll man das abschätzen?
09.03.2008, 16:15	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest komponentenweise integrieren. Die Abschätzung sollte dann auch gelten. Die musst du natürlich noch beweisen.

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