Lösen von gleichungen 4ten grades

06.03.2008, 22:58

hellogirl

Lösen von gleichungen 4ten grades

Hallo !
Wie kann ich die gleichung 0 = x^4 - 4x^3 lösen?

Ich muss dadurch die nullstellen bestimmen (f. Hochpunkt und tiefpunkt)

Danke im voraus !!

06.03.2008, 23:02

tmo

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stichwort: ausklammern.

06.03.2008, 23:04

hellogirl

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ich habs versucht aber irgendwie hab ich's nicht hinbekommen.

wie sollte ich das ausklammern?

x (x³- 4x²)

06.03.2008, 23:05

tmo

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da kannst du aber noch weiter ausklammern.

06.03.2008, 23:08

hellogirl

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sorry ich weiß leider nicht wie ich weiter ausklammern kann.

06.03.2008, 23:12

hellogirl

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hmm kannst du mir vielleicht den nächsten schritt geben? :/ ich brauch das unbedingt für die hausaufgaben für morgen..

06.03.2008, 23:15

kiste

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nochmal x ausklammern? und dann nochmal? Big Laugh

06.03.2008, 23:20

hellogirl

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wie ich versteh's nicht ://

06.03.2008, 23:21

kiste

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beim Ersten mal hat es doch auch noch funktioniert.
Machs doch bei x^3-4x^2 nochmal

06.03.2008, 23:24

hellogirl

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also x * x² - 4x ?

06.03.2008, 23:25

kiste

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Klammern nicht vergessen.
ja x^3-4x^2 = x(x^2-4x)

insgesamt haben wir also:
x^4-4x^3 = x(x(x^2-4x)) = x^2(x^2-4x)

jetzt nocheinmal und du hast es smile

06.03.2008, 23:32

hellogirl

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also dann x* (x(*x*x-4)) , vielleicht ne dumme frage aber - wie soll ich das kürzen? ://

das ergibt dann ja : x^4-4 -> wie kann ich dann weiter lösen ??

hab wegen umstellung auf 11. klasse leider etwas probleme in mathe... -> die 4. wurzel?

06.03.2008, 23:36

kiste

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Nein du hast wieder Klammern vergessen. Schreibs bitte nocheinmal ordentlich als Gleichung auf!

Um dann die Nullstellen zu berechnen beachte dass ein Produkt 0 wird wenn ein Faktor 0 wird, d.h. du musst nur die einzelnen Faktoren betrachten!

06.03.2008, 23:46

hellogirl

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also dann ist das x³ * (x-4) und dann??
damit x³ * 0 wird, muss ich (4-4) setzen, also ist dann eine nullstelle 4 ? :/
wenn nicht, dann gebe ich auf.. unglücklich

06.03.2008, 23:52

kiste

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Etwas komisch ausgeschrieben aber ja korrekt 4 ist eine Nullstelle.
Was ist die andere? Du hast ja 2 Faktoren

06.03.2008, 23:55

hellogirl

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hmm, wie wäre es denn richtig ausgeschrieben? x^2 * (x* (x-4) -> x³ (x-4) ?

dann müsste ja die andere nullstelle null sein, also 0 * (x-4) = 0 :/

07.03.2008, 00:03

kiste

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Dieses 0*(x-4)=0 ist das etwas komische Augenzwinkern

aber ja die andere Nullstelle ist 0.

ich würde es so aufschreiben:
$\begin{eqnarray*} x^3(x-4) = x^4-4x^3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^3 = 0 \vee x-4=0 \Rightarrow x=0\vee x=4 \end{eqnarray*}$

07.03.2008, 00:09

hellogirl

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wow !! hat super echt geholfen !! danke , dass du dir mühe gegeben hast, mir das zu erklären Augenzwinkern

danke nochmal.. gibt es eigentlich einen weg, vllt. auch einen "trick", wie man von x^4-4x^3 sofort auf x^3(x-4) kommen kann? also, wenn ich das so sehe , könnte ich natürlich auf die form bringen, aber mir würde es halt nicht "einfallen"

07.03.2008, 00:12

kiste

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Man klammert immer die höchste x-Potenz aus die in _allen_ Summanden vorhanden ist.
Noch ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} x^5+x^3+2x^2 = x^2(x^3+x+2) \end{eqnarray*}$

Wenn du willst kannst ja ein bisschen hier üben:
$\begin{eqnarray*} x^3+2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^4+5x^3+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^3+3x-7 \end{eqnarray*}$

07.03.2008, 00:24

hellogirl

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$\begin{eqnarray*} x^5+x^3+2x^2 = x^2(x^3+x+2) \end{eqnarray*}$ Ist das dann hier beendet oder muss man nicht die Form (x- y) haben ?

Dann wäre ja folgendes:
$\begin{eqnarray*} x^3+2x^2 \end{eqnarray*}$ -> x^2 ( x +2)

$\begin{eqnarray*} x^4+5x^3+x \end{eqnarray*}$ -> x ( x^3 + 5x² + 1)
$\begin{eqnarray*} x^3+3x-7 \end{eqnarray*}$ -> x * (x³ +3) - 7 ??

07.03.2008, 00:28

kiste

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Zitat:

Original von hellogirl
$\begin{eqnarray*} x^5+x^3+2x^2 = x^2(x^3+x+2) \end{eqnarray*}$ Ist das dann hier beendet oder muss man nicht die Form (x- y) haben ?

Muss nicht. Hier kann man halt die Nullstellen nicht mehr so einfach berechnen. Vllt. ein schlechtes Beispiel zum Nullstellen berechen sollte auch nur das Ausklammern demonstrieren.

Zitat:

Dann wäre ja folgendes:
$\begin{eqnarray*} x^3+2x^2 \end{eqnarray*}$ -> x^2 ( x +2)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^4+5x^3+x \end{eqnarray*}$ -> x ( x^3 + 5x² + 1)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^3+3x-7 \end{eqnarray*}$ -> x * (x³ +3) - 7 ??

eigentlich x*(x^2+3)-7 aber das sollte als Beispiel dienen wo man nichts ausklammern kann(von allen Summanden) von daher kreativ gelöst smile

07.03.2008, 00:32

hellogirl

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Beim Letzten war es "nur" ein Tippfehler (denk ich mal Big Laugh

). Sonst ist mir das klar.
Okay ! Augenzwinkern

Danke nochmal... Bin dann mal weg.. vielleicht "schreibt" man sich ja mal wieder ! Gute nacht noch ! Augenzwinkern

Eine kleine Frage noch: Ist das die gängigste Ausklammerung oder gibt es noch andere sinnvolle ? Und wofür wird das überhaupt ausgeklammert?

07.03.2008, 00:38

kiste

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Natürlich gibt es noch andere sinnvolle Ausklammerungen. Das wird dir bestimmt noch einige Male vorkommen. Das ist immer die Anwendung des sogenannten Distributivgesetzes: $\begin{eqnarray*} a(b + c) = ab + ac \end{eqnarray*}$ . Für a kann natürlich alles mögliche stehen, es müssen nicht x-Potenzen sein.

In diesem Fall wird ausgeklammert weil man die Nullstellen eines Produktes einfach berechnen kann

Gute Nacht,

kiste

07.03.2008, 09:35

Airblader

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@kiste
Ich ergänze nur eben:

Du willst ja die Nullstellen berechnen, d.h., auf der anderen Seite der Gleichung steht 0.
Wenn du jetzt eine Form $\begin{eqnarray*} x^n \cdot ( \ldots ) = 0 \end{eqnarray*}$ hast, dann gibt es einen schönen Effekt:

Ein Produkt wird ganz genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null wird.

Das heißt, du siehst nun sofort: x=0 ist eine (n-fache) Lösung, da $\begin{eqnarray*} x^n = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ stimmt.
Danach musst du noch den Term in der Klammer (ist ja auch ein Faktor) mit Null gleichsetzen, um die anderen Lösungen zu erhalten.

Wenn du in deiner Funktion, deren NS du suchst, kein Absolutglied hast (also kein Summand ohne ein "x"), dann kannst du stets mindestens ein x ausklammern (mindestens!). Das heißt dann auch, dass x=0 auf jeden Fall eine Lösung ist.
Das dürfte auch gar nicht so verwunderlich sein, denn wie du vllt. weißt, gibt das Absolutglied ja den y-Achsenschnittpunkt an smile

Noch ein Beispiel zur Vorgehensweise:

$\begin{eqnarray*} x^3 + 3x^2 = x^2 (x + 3) \end{eqnarray*}$

Nun ist also x=0 eine 2-fache Lösung. Zudem setzt man $\begin{eqnarray*} x+3=0 \Leftrightarrow x=-3 \end{eqnarray*}$

Verstanden? smile

air

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