Extremwertprobleme

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anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertprobleme
"Ein Draht der Länge 20 cm soll eine rechteckige Fläche mit möglichst großem Inhalt umrahmen."

Ich weiß nicht, wie ich das rechnen soll.
Ist die Extremalbedingung
20 = x mal y ??
Wie komm ich dann auf die Nebenbedingung und Zielfunktion?
Hab grad irgendwie ein Brett vor'm Kopf.. -.- (wie immer, wenn's um Mathe geht...)

Bin über Hilfe dankbar!
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Die 20 cm Draht sollen die quadratische Fläche doch umrahmen, somit ist deine Extremalbedingung nicht

Wie berechnet man denn den Umfang einer quadratischen Fläche?

Die Zielfunktion ist , da ja der maximale Flächeninhalt A gesucht wird. Wie oben erwähnt beträgt nich der Flächeninhalt 20 cm sondern der Umfang!



Gruß, mercany
 
 
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

[quoteWie berechnet man denn den Umfang einer quadratischen Fläche? [/quote]

Woher weiß ich denn, dass das Rechteck ein Quadrat ist?

Und wofür muss ich die 20cm sonst einsetzen?
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

ähmm, vergiss den ausdruck "quadratische fläche"!
fehler von mir smile

aber ansonsten bleibt alles gleich....


Zu den 20:

Du hast geschrieben:

Das ist aber nicht die Formel für den Umfang, sondern für den Flächeninhalt!


Jetzt klar?
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Macht ja nichts, du darfst auch mal Fehler machen! Augenzwinkern

Ist die Formel für den Umfang dann 2 mal x + 2 mal y = 20 ?

Wenn nicht, dann versteh ich gar nichts mehr...

edit: Tippfehler
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna_88
Macht ja nichts, du darfst auch mal Fehler machen! Augenzwinkern

Ist die Formel für den Umfang dann 2 mal x + 2 mal y = 20 ?

Wenn nicht, dann versteh ich gar nichts mehr...

edit: Tippfehler


jup
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke!
Mal schauen, ob ich was damit anfangen kann...
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna_88
Macht ja nichts, du darfst auch mal Fehler machen! Augenzwinkern


Gott sei Dank, du hast mir vergeben! Gott

Big Laugh Mit Zunge Big Laugh
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern Augenzwinkern
Zitat:

Gott sei Dank, du hast mir vergeben! Gott


Ja, bin sehr gütig, ne? smile

Ich weiß trotzdem nicht, was ich jetzt mit 2 mal x + 2 mal y = 20 anfangen soll...

Und ich weiß auch nicht, wie man nur Mathe können kann Augenzwinkern

Also, was ist bitte der nächste Schritt? Bitte nicht nach meinem Ansatz fragen, ich hab keinen Schimmer wie der lauten soll!

Gruß...
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

entweder nach x oder y auflösen, in die flächenformel einsetzen und dasextrema bestimmen!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

2x + 2y = 20
<=> x + y = 10

Da sind doch zwei Variabeln, wie soll ich da nach x oder y auflösen?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von derkoch
entweder nach x oder y auflösen, in die flächenformel einsetzen und dasextrema bestimmen!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit "entweder/ oder" hab ich schon verstanden!
Ich frag mich nur wie das gehen soll!

x = y - 10 ??

Da ist y nur auf einer Seite, aber doch nicht aufgelöst!
Wie geht das denn?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

was verstehst du denn sonst unter auflösen? smile
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde unter Auflösen verstehen, dass für x eine Zahl rauskommt. Ohne dass noch ein y da ist.
x = y - 10 würd ich eher "x auf eine Seite isolieren nennen"...
aber das ist halt meine ausgeprägte Phantasie! lol

Aber gut, wenn du das sagst, dass das auflösen heißt, dann wird es wohl stimmen! smile
Spielt ja jetzt eigentlich auch keine Rolle...

2 mal (y - 10) + 2 mal y = 20
Ist das so richtig in die Flächenformel eingesetzt?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

das ist die Fläche


das ist der Umfang!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

20 = (y-10) mal y
- So besser?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

ich sehe gerade du hast deine gleichung falsch aufgelöst madame!






und nicht anders!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh je, wie konnte mir als Mathegenie bloß so ein Fehler unterlaufen???
Ich schäme mich zutiefst! Augenzwinkern

also:

20 = (10 -y) mal y , oder??

Moderiert ihr Moderatoren das Forum hier eigentlich "freiwillig", oder ist das sowas wie ein Nebenjob? !

Würde nämlich auch gerne Matheboard-Moderatorin werden!

... lol, kleiner Scherz...

Nee, würd mich nur so interessieren, ob es der Spaß am Zahlen ist oder ein anderer Grund, warum ihr das macht.
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Moderiert ihr Moderatoren das Forum hier eigentlich "freiwillig", oder ist das sowas wie ein Nebenjob? !


nee wir bekommen pro beitrag so ca. 20 €! Big Laugh Big Laugh Big Laugh Big Laugh

nagut! jetzt mußt du deine gleichung auflösen und das extrema bestimmen! in deinem fall dein scheitelpunkt deiner parabel!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

20€?? Big Laugh Big Laugh Dann bin ich auch dabei, trag mich bitte bei Höhere Mathematik ein! Big Laugh Das werd ich doch wohl schaffen, oder was meinst du?? (..ein falsches Wort...!) Augenzwinkern

Hehe, nee keine Sorge, ich würd sowas nie freiwillig machen - also Respekt!! (Mal abgesehen davon, dass ich das für Mathe nicht könnte..)

20 = 10y - y²
... wie geht das mit den Extrema?
Ableitungen bilden, relative Hoch- und Tiefpunkte bestimmen und der höchste Hochpunkt ist dann das absolute Extremum????
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

extrema: erste und 2. ableitung!


aber hier brauchst du das nicht! du hast hier doch eine funktion 2. grades und dessen graph ist ja eine parabel und das extrema einer parabel ist nun mal sein scheitelpunkt( je nach lage, ob er nach oben odernach unten geöffnet ist, hast du entweder ein hoch- oder ein tiefpunkt!)dh. für dich jetzt bestimme den scheitelpunkt!!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso...
nur wie bestimmt man nochmal den Scheitelpunkt? verwirrt
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

scheitelpunkt-form!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich mach das morgen weiter! Danke!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich versuche weiterzurechnen, wollte ich nachfargen, ob es die erten Schritte so richtig sind:

Extremalbedingung:
A = x mal y

Nebenbedingung:

U = 20 = 2x + 2y

Zielfunktion:

A(x) = (10 - y) y
Oder ist da was falsch aufgeschrieben?

Und wie komme ich auf die Scheitepunktform?

DAAANKE!!
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

jup!

bringe deine funktion auf die form mit dem Punkt als Scheitelpunkt.



Gruß, mercany



\\edit:Latex
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nur leider nicht, welche Werte ich jetzt in die Scheitelpunktform einsetzen soll...

A (x) = a ( 10 - d) + e ?

Ich hab doch sonst nichts gegeben?!

Vielen lieben Dank für deine Hilfe!
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

multipliziere dein gleichung aus und mache anschließend ne quadratische ergänzung
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der quadratischen Ergänzung konnte ich noch nie! Geht das auch mit der Lösungsformel?

Im Moment komm ich auf

A (x) = 10a - ad + e

.. weiter kann ich es nicht!
Bacira Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten so ne ähnliche Aufgabe letztens in Mathe, nur mit nem Dreieck.

Ich hätt deine Aufgabe jetzt so gelöst(Auchting ist bin kein Einstein)

U=2a+2b
=> 20=2a+2b <=> 10=a+b

<=> a=10-b (I)

A=ab (I) einsetzten
=>A=(10-a)a
<=> A=10a-a²
damit ist A als Funktion abhängig von a anzusehen:
f(a)=10a-a²
Jetzt die erste Ableitung und die dann gleich Null setzten(notwendige Bedingung für Extrema):
f'(a)=10-2a
10-2a=0 <=> 2a=10 <=> a=5

Jetzt a=5 in zweite Ableitung einsetzen, ist Ergebnis <0 ist es Maxima:
f''(a)=-2 -> Maxima(egal, was a ist.

Jetzt wissen wir U=2x+2y <=>10=x+y, a=5
=> 10=5+y

=> Maximaler Flächeninhalt mit Umfang 20cm vorhanden bei Kantenlängen a=5cm, b=5cm

Hoffe, das hat geholfen und war richtig.

Bye, eure Bacci
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön, Bacci, dass du das extra noch mal alles für mich abgetippt hast!
Ich hab jetzt auch den Fehler meiner ersten Rechnung gefunden, der war an der Stelle:

[quote][f'(a)=10-2a
10-2a=0 <=> 2a=10 <=> a=5 [quote]

Hab versehentlich a = -5 rausbekommen, und da es ja keine negativen Kantenlängen gibt, hab ich es aufgegeben!

Danke nochmal! smile
k89 Auf diesen Beitrag antworten »

1. skizze anfertigen um sich die aufgabe verbildlichen zu können
2. Bedingung ....wir suchen max. Flächeninhalt also : A= l * b ....l= länge b=breite
3. Nebenbedingung : Umfang soll 20 cm sein ....Formel von Umfang eines Rechtechs:
2l * 2b = 20 ....
teilen wir duch 2 dann haben wir : l * b = 10 ....nun suchen wir uns eine Variable aus nach dem wir auflösen ....wir nehmen b also : l * b = 10 / -l also : b = 10-l
4. Zielfunktion bestimmen : wir setzen b in die Hauptbedingung ein und haben dann :
A (l) = l * (10-l) .....das lösen wir auf und haben : 10l - l² ......vereinfacht dann :
A (l) = l² - 10l ----> Zielfunktion
5. Def. bereich : l liegt zwischen 0 und 10 wobei es 0 und 10 nicht sein kann
6. : Bestimmung der Extrema:
Ableitungen bilden um aus der 1. ableitung das extrem heraus zu kriegen also :
A' (l) = 2l - 10
A'' (l) = 2 ... da die 2. ableitung auf jeden Fall ungleich 0 is , is es schonmal nicht falsch
NOtwendige Bedingung daraus : 1:ableitugn gleich 0 setzen ..... 2l - 10 = 0 / + 10
..... 2l = 10 ..... l = 5.....
nun is l halt 5....
7. Einsetzen der Werte .
wir setzen jetzt in U l = 5 ein und kriegen : U = 10 + 2b = 20 / - 10
2b = 10 .....b = 5.....

l = 5 , b = 5 .....A = 5 * 5 = 25 cm ²

smile
k89 Auf diesen Beitrag antworten »

A (l) = l² - 10l ----> Zielfunktion

heißt natürlich : A (l)= - l² - 10 l

bei solchen Aufgaben muss es immer mit - .... beginnen sosnt is da was nicht korrekt....

2l * 2b = 20 ..

natürlich is es 2l + 2b = 20

smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@k89

Hast aber schon gesehen, dass der Thread mittlerweile 3 Jahre alt ist, ja?
Und was du da gemacht hast - entgegen dem Boardprinzip - eine Komplettlösung gegeben, erheitert auch nicht gerade. unglücklich

mY+
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