Ableitungen

14.09.2005, 21:55

soeha

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Ableitungen

Kann mir jemand die Ableitung zu dieser Funktion sagen?

$\begin{eqnarray*} f (x) = \frac{3x}{x^{2}+1} \end{eqnarray*}$

meine Vorschläge:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{3*(x^2+1)-3x*2x}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^2+3-6x}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^2+3-6x}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3^2-6x+3}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ => f'(x)

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion!! (MSS)

14.09.2005, 22:08

sqrt(2)

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Fast: $\begin{eqnarray*} 3x\cdot 2x \neq 6x \end{eqnarray*}$ .

14.09.2005, 22:09

soeha

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f''(x) =

$\begin{eqnarray*} \frac{6x-6*(x^2-1)^2-(3x^2-6x+3)*[2*(x^2+1)*2x]}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6x^3-6x-6x^2-6-12x^3+24x^2-12x}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-6x^3-18x+18x^2-6}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

ahh verdammt
danke sqrt(2)

f'(x) =

$\begin{eqnarray*} \frac{-3x^2+3}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

edit: Dreifachpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion!! (MSS)

14.09.2005, 22:13

sqrt(2)

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Richtig, die zweite Ableitung ist auf diese Weise auch etwas angenehmer als vorher.

14.09.2005, 22:18

soeha

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f''(x) =

$\begin{eqnarray*} \frac{-6x*(x^2+1)^2-(-3x^2+3)*[2*(x^2+1)*2x]}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-6x^3-6x+12x^3+12x}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6x^3+6x}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

14.09.2005, 22:22

sqrt(2)

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Leider falsch, da ist beim Ausmultiplizieren etwas schief gelaufen. Bevor du es noch einmal probierst, schau dir den Bruch aber noch einmal genau an, du kannst nämlich zuerst noch kürzen.

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14.09.2005, 22:24

soeha

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2)
Definitionsbereich:

Df = R

3)
Symmetrie:
Achsensymmetrie:
f(x) = f(-x)

$\begin{eqnarray*} \frac{3x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ ungleich $\begin{eqnarray*} \frac{-3x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

=> keine Achsensymmetrie!

Punktsymmetrie:
-f(x) = f(-x)

$\begin{eqnarray*} \frac{-3x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{-3x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

=> es liegt eine Punktsymmetrie vor!

$\begin{eqnarray*} \frac{-3x^2+3}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

wenn ich mir den Bruch genauer anschaue, könnte ich auch schreiben

$\begin{eqnarray*} \frac{-3x^2+3}{(x^2+1)*(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

wo kann ich da noch kürzen?

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion!!! (MSS)

14.09.2005, 22:30

sqrt(2)

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Ich meinte die zweite Ableitung, aber nach einmal darübersehen, sehe ich, dass du ja schon gekürzt hast, dein Ergebnis ist dennoch falsch.

Definitionsbereich und Symmetrie stimmen jedoch.

14.09.2005, 22:32

soeha

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kannst mir den fehler sagen?

beim überrechnen hab ich den fehler glaub ich gefunden

2.zeile: -12x anstatt +12x

f''(x) =

$\begin{eqnarray*} \frac{6x^3-18x}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

edit: Doppelpost zusammengefügt, könntest du bitte editieren!!!!!? (MSS)

14.09.2005, 22:36

sqrt(2)

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Irgendwas scheinst du mit den Exponenten durcheinandergekriegt zu haben, was mich dazu bewogen hat, zu denken du hättest nicht gekürzt und dann wieder doch und dann wieder nicht... wie auch immer.

Der Ansatz wäre:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-6x(x^2+1)^2-(-3x^2+3)(2x\cdot2(x^2+1))}{(x^2+1)^4} \end{eqnarray*}$ ,

achte auf die 4 im Nenner. Hier kannst du zuerst kürzen, bevor du weitermachst.

Edit:

Zitat:

Original von soeha
$\begin{eqnarray*} \frac{6x^3-18x}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

Ja, das ist richtig. Freude

Freude

14.09.2005, 22:37

soeha

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ja, hab mich nur vertippt, hab da auch gekürzt

f''(x) siehe einen eintrag vor dir

14.09.2005, 22:39

sqrt(2)

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Äh, ja, wieder einmal Verwirrung durch das Berabeiten von Beiträgen. Also, ich habe deinen zur Kenntnis genommen und das Ergebnis ist richtig.

14.09.2005, 22:43

soeha

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4) Verhalten für x -> $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty } => 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} => 0 \end{eqnarray*}$

14.09.2005, 22:45

sqrt(2)

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Ja, aber die Schreibweise ist unkorrekt. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)&=&0\\\lim_{x\to-\infty}f(x)&=&0 \end{eqnarray*}$ ,

oder gleich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

14.09.2005, 23:09

soeha

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5)
Nullstellen

f(x) = 0

3x = 0
x = 0

P (0/0)

14.09.2005, 23:13

sqrt(2)

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Richtig, aber dafür brauchst du eigentlich keine Bestätigung, oder? smile

smile

14.09.2005, 23:15

soeha

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6) Extremstellen
f'(x) = 0

$\begin{eqnarray*} -3 x^{2}+3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x^{2} = -3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} = 1 \end{eqnarray*}$

1. x = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$
2. x = $\begin{eqnarray*} -\sqrt{1} \end{eqnarray*}$ => fällt weg, weil siehe Definitionsbereich

f''( $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ ) = -1,5 => Hochpunkt

f(1) = -1,5

H ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ /-1,5)

14.09.2005, 23:20

sqrt(2)

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Überprüfe die y-Koordinate des Tiefpunkts noch einmal.

14.09.2005, 23:22

soeha

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7) Wendepunkte

f''(x) = 0

$\begin{eqnarray*} 6x^{3} - 18x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x^{2}-18 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x^{2} = 18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} = 3 \end{eqnarray*}$

1. x = $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
2. x = $\begin{eqnarray*} -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
3. x = 0

f'''(x) ungleich 0

f'''(wurzel aus 3) ungleich 0
f'''(wurzel aus -3) ungleich 0
f'''(0) ungleich 0

f( $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ) = 1,3
f( $\begin{eqnarray*} -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ) = 1,3
f(0) = 0

1. W ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ /1,3)
2. W ( $\begin{eqnarray*} -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ /1,3)
3. W (0/0)

14.09.2005, 23:27

sqrt(2)

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Zitat:

Original von soeha
$\begin{eqnarray*} x^{2} = 3 \end{eqnarray*}$

1. x = 3
2. x = -3

Nein, aber das siehst du wohl selbst.

Zitat:

Original von soeha
f'''(x) ungleich 0

Ohne die dritte Ableitung zu haben, dürfte das schwer werden (gut, behaupten kann man immer, aber wirklich gezeigt ist es dann nicht). Du kannst aber damit Argumentieren, dass es aufgrund der Annäherung an die x-Achse zu den Rändern hin zwei Wendepunkte geben muss, da es Extrempunkte gibt.

Obwohl ich vorher anderes behauptet habe, ist

Zitat:

Original von soeha
2)
Definitionsbereich:

Df = R \ {1}, {-1}

auch falsch (nicht nur falsch notiert): Vorzeichenfehler (bei mir auch).

14.09.2005, 23:30

soeha

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ich hatte die 3.ableitung smile

smile

$\begin{eqnarray*} \frac{-18x^4+108x^2-18}{(x^2+1)^4} \end{eqnarray*}$

wenn ich mich nicht verrechnet hatte

14.09.2005, 23:32

sqrt(2)

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Die ist richtig, die Wendepunkte hast du auch schon korrigiert, fehlt noch die Korrektur des Tiefpunkts und des Definitionsbereichs.

14.09.2005, 23:36

soeha

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die y-koordinate des hoch- und des tiefpunktes waren falsch
müssten jetzt stimmen

was is am definitionsbereich falsch?

14.09.2005, 23:39

soeha

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ach so

definitionsbereich is alle reele zahlen außer 1 und -1
is doch richtig so?!

14.09.2005, 23:46

soeha

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so jetzt steht hier eine komplette kurvendiskussion zu einer funktion, die gar nicht mal einfach war. für mich war es ne gute klausurvorbereitung und anderen hilft es vllt weiter, wenn sie sehen, wo ich meine fehler gemacht habe.

14.09.2005, 23:49

sqrt(2)

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Der Tiefpunkt ist immer noch falsch, oder eigentlich sogar noch "falscher". Vorhin war das Vorzeichen falsch, jetzt ist es der Betrag. Da du weißt, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, kannst du eigentlich gleich ohne Einsetzen sagen, welche Koordinaten der Tiefpunkt hat.

Der Definitionsbereich ist auch noch falsch. Was sind die Lösungen von $\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ ?

14.09.2005, 23:58

soeha

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stimmt
mit den wurzeln hab ich das heute nich so
is aber geändert jetzt

15.09.2005, 00:09

sqrt(2)

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Der Definitionsbereich ist immer noch falsch.

$\begin{eqnarray*} x^2+1&=&0\\x^2&=&-1 \end{eqnarray*}$

15.09.2005, 00:11

soeha

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ich seh grade, dass die extremstellen falsch sind
das nämlich auch wurzel aus 1
und dann ist das nicht definiert

15.09.2005, 00:14

soeha

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Der Definitionsbereich ist immer noch falsch.

$\begin{eqnarray*} x^2+1&=&0\\x^2&=&-1 \end{eqnarray*}$

ach so => also nur $\begin{eqnarray*} -\sqrt{1} \end{eqnarray*}$

15.09.2005, 00:25

sqrt(2)

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Nein! Wenn schon, dann $\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ , und du willst sicher nicht in den komplexen Zahlenraum übergehen. Die Funktion ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert.

15.09.2005, 00:36

soeha

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0 ist auch eine wendestelle!

15.09.2005, 00:40

sqrt(2)

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Durchaus, ich dachte eigentlich, du hättest die als selbstverständlich nicht weiter behandelt. Du hast aber anscheinend doch durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geteilt, und dabei musst du eine Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ treffen, das ist genau die Stelle, die dir fehlt.

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