Rekursiv definierte Folge

07.03.2008, 12:47

xole_X

Rekursiv definierte Folge

hallo,
es geht um diese folge hier...
wie löse ich sowas?
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=\sqrt{\frac{1}{3} (a_n(2a_{n+1}+4)+5)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_0 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$

ich soll zeigen das $\begin{eqnarray*} a_n<5 \end{eqnarray*}$ ist.
ich vermute, dass sowas über die vollst. Induktion geht.

Daher versuch mich einfach mal dran:

1) IA:
a_0 < 5
a_1 < 5 also wahre aussagen
2) IS:

$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=\sqrt{\frac{1}{3} (a_n(2a_{n+1}+4)+5)} <5 \end{eqnarray*}$
wenn ich jetzt a_0 für a_n und a_1 für a_{n+1} einsetze,
da kommt folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{3} (0*(2*1+4)+5)} < \sqrt{\frac{1}{3} (a_n(2a_{n+1}+4)+5)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{5}{3}} <\sqrt{\frac{1}{3} (a_n(2a_{n+1}+4)+5)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{3}<\frac{1}{3} (a_n(2a_{n+1}+4)+5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} *3-5 <a_n(2a_{n+1}+4) \end{eqnarray*}$

naja das wahr mehr oder weniger eher ein gescheiterter versuch, kann mir da jemand weiter helfen?

07.03.2008, 13:03

WebFritzi

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Schätze im Induktionsschritt a_{n+2} ab mit dem Wissen, dass a_n und a_{n+1} kleiner als 5 sind.

07.03.2008, 13:20

xole_X

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ich habs leider mitm abschätzen noch nicht so drauf.
wie soll ich a_{n+2}jetzt genau abschätzen?

$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=\sqrt{\frac{1}{3} (a_n(2a_{n+1}+4)+5)} <5 \end{eqnarray*}$

07.03.2008, 13:27

tmo

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um es anders auszudrücken: ersetze $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ jeweils durch 5 und mache ein kleiner-zeichen.

danach musst du nur noch nachvollziehen können, warum du das so machen kannst.

07.03.2008, 14:19

xole_X

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RE: Rekursiv definierte Folge
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{3} (5*(2*5+4)+5)} > \sqrt{\frac{1}{3} (a_n(2a_{n+1}+4)+5)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5 > \sqrt{\frac{1}{3} (a_n(2a_{n+1}+4)+5)} \end{eqnarray*}$

ist das so gemeint?

das mitm kleiner zeichen hab ich so verstanden, dass rechte term maixmal (bzw eher nie, weils ja heißt streng kleiner) so groß wird wie der linke, weil ja a_0 und a_1 in jedem fall kleiner sind als 5.

damit wär doch gezeigt das 5>a_n+2
muss ich mich jetzt auch noch absichern, dass die folge monton steigend ist, damit ich sagen kann auch a_n<5 ?

07.03.2008, 14:41

tmo

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ja aber WARUM kannst du denn einfach $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ durch 5 ersetzen und dann sagen, dass dieser term größer als $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ ist?

denn es gibt auch beispiele, bei denen das nicht klappt. aus $\begin{eqnarray*} c < 5 \end{eqnarray*}$ folgt z.b.nicht $\begin{eqnarray*} 50-c < 50-5 = 45 \end{eqnarray*}$

warum geht es aber hier?

07.03.2008, 15:15

xole_X

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Zitat:

Original von tmo
ja aber WARUM kannst du denn einfach $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ durch 5 ersetzen und dann sagen, dass dieser term größer als $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ ist?

denn es gibt auch beispiele, bei denen das nicht klappt. aus $\begin{eqnarray*} c < 5 \end{eqnarray*}$ folgt z.b.nicht $\begin{eqnarray*} 50-c < 50-5 = 45 \end{eqnarray*}$

warum geht es aber hier?

für $\begin{eqnarray*} c < 5 \end{eqnarray*}$ müsste es doch so heißen?
$\begin{eqnarray*} 50-c > 50-5 = 45 \end{eqnarray*}$

als begründung hätte ich für das a_n+2 beispiel gesagt,beim induktionsanfang haben wir gesagt a_0 und a_1 sind kleiner 5...also nehmen wir an, die aussage für a_n<5 stimmt. und das nehme ich als vorrausetzung für die induktion.
dann würde ich sagen, dass a_n und a_n+1 nie größer 5 werden können, also muss der linke term aufjeden fall größer sein als der rechte...

naja aber ne richtige erklärung außer diese hab ich nicht unglücklich

07.03.2008, 15:20

tmo

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denk doch mal an die monotonie der einzelnen terme (wenn man sie als funktion betrachtet), aus denen sich der rekursionsterm zusammensetzt.

das ist das entscheidende.

also z.b. so:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} < 5 \Longrightarrow 2a_{n+1} < 10 \Longrightarrow 2a_{n+1} +4 < 14 \end{eqnarray*}$

etc...

bis man schließlich bei
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{3}(a_n(2_{n+1}+4)+5)} < \sqrt{25}=5 \end{eqnarray*}$ ankommt.

07.03.2008, 17:08

xole_X

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es hat leider bei mir noch nicht klick gemacht unglücklich

das was du gezeigt hast, sieht logisch aus, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich bei einem anderen beispiel entscheiden könnte, ja hier darf ich abschätzen und nein hier geht das nicht

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