Folge mit einer Summe

07.03.2008, 17:01

xole_X

Folge mit einer Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~e^k*\frac{k!}{2^k*k^k} \end{eqnarray*}$

diesmal hab ich leider überhaupt keine ahnung.
wie löst man sowas? und dann noch ne verständnisfrage, kann man hierzu auch schon ne reihe sagen oder sind reihen allgemein nur für n= unendlich

ohne dieses summenzeichen würde ich sagen, dass es eine Nullfolge ist, weil ich glaube (glaube nur, weiss es nicht unglücklich

), dass k^k der bestimmende term ist.

ich soll hier die konvergenzprüfen und eventuell einen vorhandenen grenzwert ermitteln.

07.03.2008, 17:07

tmo

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ja das kannst du schon reihe nennen. wenn jetzt noch der grenzwert für n gegen unendlich gefragt ist bzw. das konvergenz/divergenzverhalten, dann sagt man auch unendliche reihe.

was sollst du denn genau machen? das konvergenzverhalten bestimmen?

also die vermutung, dass die folge $\begin{eqnarray*} a_k = e^k \cdot \frac{k!}{2^k \cdot k^k} \end{eqnarray*}$ eine nullfolge ist, stimmt schonmal. nur über die konvergenz sagt dieses faktum alleine noch nicht viel aus.

07.03.2008, 17:11

xole_X

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jap soll das konvergenzverhalten bestimmen.
also muss ich hier dann, wenn es eine reihe ist, mit diesen kriterien es versuchen zu lösen?
quotientenkriterium
wurzelkriterium oder ähnliches?

07.03.2008, 17:14

tmo

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du könntest abschätzen:

$\begin{eqnarray*} e^k \cdot \frac{k!}{2^k \cdot k^k} = e^k \cdot \frac{k!}{4^k \cdot \left( \frac{k}{2} \right)^k} = \left( \frac{e}{4} \right)^k \cdot \frac{k!}{\left( \frac{k}{2} \right)^k} \end{eqnarray*}$

es gibt eine bekannte ungleichung, mit der du den rechten faktor abschätzen kannst.

07.03.2008, 17:15

svrc

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Das Quotientenkriterium oder das Wurzelkriterium zur Untersuchung der Konvergenz einer unendlichen Reihe sind doch schon Ansätze, die du probieren solltest.

07.03.2008, 17:20

xole_X

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also ich glaub wir hatten nur 3 ungleichung bisher in irgendner form gehabt:

Bernoulli Ungleichung
Dreiecksungleichung
arithm. geomt. Ungleichung

irgendwie passt aber keine so richtig drauf

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{k+1}*(k+1)!}{2^{k+1}*(k+1)^{k+1}}* \frac{2^{k}*(k)^{k}}{e^{k}*(k)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{k}*e*k!*(k+1)}{2^{k}*2*(k+1)^{k}*(k+1)}* \frac{2^{k}*(k)^{k}}{e^{k}*(k)!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{e*k^k}{2*(k+1)^{k}} \end{eqnarray*}$

ich hoffe das war mitm quotientenkriterium soweit richtig und jetzt muss ein q<1 ein vorhanden sein, wie finde ich mein q?

07.03.2008, 17:30

tmo

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Die erstere davon ist schonmal nah dran Augenzwinkern

Ich verweise mal hierrauf: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=156356&hilight=ungleichung+fakult%E4t

edit: ok meinentwegen auch mit dem quotientenkriterium. rechne doch jetzt einfach den grenzwert dieses terms für k gegen uendlich aus. den tipp dafür habe ich dir heute schonmal in einem anderen thread gegeben Augenzwinkern

07.03.2008, 17:43

svrc

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Du hast jetzt $\begin{eqnarray*} \Big[ \frac{k}{k+1} \Big]^{k} \end{eqnarray*}$ . Der Term $\begin{eqnarray*} \frac{k}{k+1} \end{eqnarray*}$ lässt sich noch so umschreiben, dass du, wenn du den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \Big[ \frac{k}{k+1} \Big]^{k} \end{eqnarray*}$ betrachtest, eine sehr bekannte Zahl beim Grenzübergang miterhalten solltest.

Tipp: $\begin{eqnarray*} \frac{k}{k+1} = 1 - \cdots \end{eqnarray*}$

07.03.2008, 17:50

xole_X

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ok mit den geheimtipps von tmo und svrc

$\begin{eqnarray*} \frac{e}{2} \lim_{k \to \infty} (\frac{k}{k+1})^k = \frac{e}{2}\lim_{k \to \infty} (\frac{k+1-1}{k+1})^k = \frac{e}{2}\lim_{k \to \infty} (1 + \frac{-1}{k+1})^k = \frac{e}{2} * e^{-1} =0.5 \end{eqnarray*}$

also q=0.5<1, die reihe konvergiert?

07.03.2008, 17:52

tmo

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genau

und jetzt kannst du dir eins von den unendlich vielen q's zwischen 1 und 0.5 aussuchen Augenzwinkern

07.03.2008, 17:55

xole_X

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also q=0.5<1, die reihe konvergiert?
ok das war jetzt aber nicht mein grenzwert oder?
den muss ich zusätzlich bestimmen?

07.03.2008, 17:59

tmo

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Zitat:

Original von xole_X
also q=0.5<1, die reihe konvergiert?

das war jetzt genau das q, was du nicht nehmen kannst. bei $\begin{eqnarray*} q = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ bist du auf der sicheren seite.

den grenzwert der reihe musst du wohl nicht bestimmen, wenn nur nach dem konvergenzverhalten gefragt war.

07.03.2008, 18:02

xole_X

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lol bei so ner riesen auswahl von q's nehm ich natürlich das einzig falsche q, das war ja klar Hammer

aber warum darf ich das nicht annehmen? was ist dieses q überhaupt? da steht nur so bei uns im skript, dass q<1 sein muss, warum ist 2/3 legitim und 0.5 nicht?

ja gefragt war nur konvergenzverhalten, aber wie würde ich denn den grenzwert so bestimmen? mich stört da bisschen das summenzeichen

07.03.2008, 18:13

tmo

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Zitat:

Original von xole_X
lol bei so ner riesen auswahl von q's nehm ich natürlich das einzig falsche q, das war ja klar Hammer

aber warum darf ich das nicht annehmen? was ist dieses q überhaupt? da steht nur so bei uns im skript, dass q<1 sein muss, warum ist 2/3 legitim und 0.5 nicht?

es wird $\begin{eqnarray*} a_k \leq q < 1 \end{eqnarray*}$ für hinreichend große k gefordert. und da $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ gegen 0.5 konvergiert, ist es sicher kleiner als 2/3 für hinreichend große k (es ist auch sicher kleiner als 0.500001 für hinreichend große k).
aber $\begin{eqnarray*} a_k \leq 0.5 \end{eqnarray*}$ folgt nicht aus der konvergenz gegen 0.5, siehe z.b. als gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} b_k = \frac{1}{2}+\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

und zum grenzwert: ich wüsste jetzt nicht, wie man den hier brechnen könnte. aber das ist ja auch gar nicht gefragt.

07.03.2008, 18:15

xole_X

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ok dann vielen dank für die hilfe
ich würde euch alle am liebsten mit in die klausur nehmen

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