Exponentialfunktion mit einer Wurzel im Exponenten

07.03.2008, 17:30

Irrer

Exponentialfunktion mit einer Wurzel im Exponenten

Hi,

es geht um die Ableitung einer Exponentialfunktion, die wie folgt aussieht:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{\sqrt{1-x}} \end{eqnarray*}$

Die Lösung habe ich, sie soll wie folgt aussehen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{-e^{\sqrt{1-x}}}{2 \cdot \sqrt{1-x}} \end{eqnarray*}$

Ich habe damit angefangen, f(x) zunächst einmal umzuformen, um die Wurzel wegzubekommen:

$\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{1-x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{(1-x)^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich nicht weiter und mir ist nicht klar, wie man auf die gegebene Lösung kommen soll. Könnte mir da jemand weiterhelfen?

Gruß
Irrer

07.03.2008, 17:33

Calvin

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RE: Exponentialfunktion mit einer Wurzel im Exponenten

Zitat:

Original von Irrer
Ich habe damit angefangen, f(x) zunächst einmal umzuformen, um die Wurzel wegzubekommen:

$\begin{eqnarray*} e^{(1-x)^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf? Da steht "hoch 1/2" und nicht "mal 1/2". Die Wurzel kriegst du nicht aus dem Exponenten weg. Wende zum Ableiten die Kettenregel an.

07.03.2008, 17:41

KeineLust

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Bevor Du weiter herumirrst, wie wäre es mit Substitution?

07.03.2008, 17:47

Calvin

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Substitution ist hier nicht zu empfehlen. Da vergisst man nur die innere Ableitung.

07.03.2008, 18:01

Irrer

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Ah, ich glaube, ich habe es...

Zunächst leite ich den folgenden Teil ab:

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Auch hier per Kettenregel, ich komme also auf folgende Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot (1-x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-1) \end{eqnarray*}$

Die eigentliche Ableitung müsste dann so lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot (1-x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-1) \cdot e^{(1-x)^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

Und wenn man das dann ausmultipliziert, dann kommt man auf das oben genannte Ergebnis.

07.03.2008, 18:06

Calvin

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