Arg(z) vs. arg(z)

08.03.2008, 18:58

pingu

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Arg(z) vs. arg(z)

Hi Leute,

Ich habe eine Frage. Hat Arg(z) etwas mit arg(z) zu tun? Ich weiss, dass das Resultat von arg(z), wobei vllt eine komplexe Zahl hier ein wenig ungünstig gewählt ist, jeweils 1, 0 oder -1 sein kann. Jetzt hab ich gelesen, dass es in der Komplexen Analysis so einfach nicht geht, da ein Problem bestehe, welches ich auch nicht ganz verstanden habe. Deshalb hat Arg(z) man im Raum $\begin{eqnarray*} C^{-*} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} ]-\pi ,\pi [ \end{eqnarray*}$ beschränkt. Weshalb darf die Null nicht dabeisein? Und wieso genau auf $\begin{eqnarray*} ]-\pi ,\pi [ \end{eqnarray*}$ ?

lg pingu

08.03.2008, 19:30

therisen

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Kann es sein, dass du das mit dem Signum einer reellen Zahl verwechselst? Ich würde sagen, dass damit der Winkel bei der Polardarstellung gemeint ist.

08.03.2008, 19:39

pingu

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Was meinst du mit Signum? Ich bin schon ziemlich sicher, dass das stimmt.

lg

08.03.2008, 19:44

AD

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@pingu

Du solltest dich etwas klarer äußern: Wenn du von den Werten -1, 0, 1 redest, meinst du damit $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ - also NICHT $\begin{eqnarray*} \arg(z) \end{eqnarray*}$ . Ich hab das nämlich ähnlich wie therisen auch erst missverstanden!

08.03.2008, 19:46

pingu

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Doch eigtnlich schon das Argument davon. Das spielt es ja nur eine Rolle, ob z positiv, negativ oder gleich 0 gewählt wird. Ich glaube es war vllt, nicht so günstig dafür eine Komplexe Zahl zu wählen. Sonst schreib ich mal arg(x).

lg

08.03.2008, 19:52

AD

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Jetzt bin ich hinreichend verwirrt: Was willst du eigentlich?

verwirrt

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08.03.2008, 19:58

pingu

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Also meine ursprüngliche Frage war, ob arg(x) mit Arg(z) zusammenhängt, und wenn ja, dann wie? Und was überhaupt genau die Eigenschaften von Arg(z) sind. Ich hab beireits danach recherchiert, aber das theoretische Zeugs sagt mir so überhaupt nichts, also ich verstehe beispielsweise nicht, wieso der Definitionsbereich von Im(z) auf $\begin{eqnarray*} ]-\pi ,\pi [ \end{eqnarray*}$ beschränkt wird.

lg pingu

08.03.2008, 20:02

AD

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Üblich ist folgende Festlegung: $\begin{eqnarray*} \arg(z) \end{eqnarray*}$ ist derjenige Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi\in ]-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ , für den $\begin{eqnarray*} z = |z| \cdot e^{i\varphi} \end{eqnarray*}$ gilt, also in der Polardarstellung einer komplexen Zahl.

Im Fall $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ ist eine eindeutige Festlegung nicht möglich, da jeder Winkel diese Eigenschaft hat - daher nimmt man den Koordinatenursprung explizit aus.

Natürlich hätte man auch jedes andere halboffene Winkelintervall der Länge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ nehmen können - z.B. $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ , was mitunter bei Polarkoordinaten auch gern Verwendung findet. Die Festlegung $\begin{eqnarray*} ]-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ hat den Vorteil, dass der damit definierte komplexe Logarithmus

$\begin{eqnarray*} \ln(z) := \ln(|z|) + i\cdot \arg(z) \end{eqnarray*}$

auf der positiven reellen Achse differenzierbar ist - was bei Festlegung $\begin{eqnarray*} \arg(z)\in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ nicht der Fall wäre ...

Ich sehe keinen Unterschied zu $\begin{eqnarray*} \operatorname{Arg}(z) \end{eqnarray*}$ , ich hab das immer als gleich angesehen - lasse mich da aber gern eines besseren belehren. Jedenfalls sind $\begin{eqnarray*} \arg \end{eqnarray*}$ und Signum (also die Vorzeichenfunktion im Reellen) nicht dasselbe.

Zitat:

Original von pingu
also ich verstehe beispielsweise nicht, wieso der Definitionsbereich von Im(z) auf $\begin{eqnarray*} ]-\pi ,\pi [ \end{eqnarray*}$ beschränkt wird.

Das ist Unsinn. Vermutlich verwechselst du Argument mit Imaginärteil - zwei völlig verschiedene Dinge.

08.03.2008, 20:12

pingu

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Ok, verstehe, danke. Wieso ist denn beim Intervall von $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ die Funktion nicht differenzierbar?

Lg

08.03.2008, 20:22

AD

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Der Logarithmus wäre dann dort nicht mal mehr stetig: Mit einer derartigen Festlegung ist dann nämlich für reelle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{\varepsilon\searrow 0} \ln(x-i\cdot \varepsilon) = \ln(x)+ i\cdot 2\pi \end{eqnarray*}$ ,

d.h. der Logarithmuswert "springt" um $\begin{eqnarray*} i\cdot 2\pi \end{eqnarray*}$ kurz unterhalb der positiven reellen Achse.

Mit der normalen Festlegung $\begin{eqnarray*} \arg(z)\in ]-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ erfolgt dieser Sprung auf der negativen statt der positiven reellen Achse. Das wird im Sinne des reibungslosen Einbettens der reellen in die komplexe Logarithmusfunktion als angenehmer empfunden... smile

smile

08.03.2008, 20:56

pingu

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hmm.. das verstehe ich jetzt noch nicht ganz. Würde er denn im ersten Fall bei x = 1 springen?

lg

08.03.2008, 21:01

AD

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Ist $\begin{eqnarray*} 1>0 \end{eqnarray*}$ ? Na also.

08.03.2008, 22:42

Leopold

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@ pingu

Oft trifft man die folgende Festlegung:

$\begin{eqnarray*} \arg \end{eqnarray*}$ ist ein nicht näher bestimmter oder ein von Fall zu Fall anders bestimmter Zweig des Argumentes, also des Winkels einer komplexen Zahl.

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Arg} \end{eqnarray*}$ ist der Hauptzweig des Argumentes, also $\begin{eqnarray*} \operatorname{Arg}(z) \in (-\pi,\pi) \end{eqnarray*}$ . (So wird $\begin{eqnarray*} \operatorname{Arg} \end{eqnarray*}$ zu einer stetigen Funktion. Ob man dann $\begin{eqnarray*} \operatorname{Arg} \end{eqnarray*}$ für negative $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ festlegt, ist Geschmackssache. Die Stetigkeit geht so oder so verloren. Am besten legt man es, solange es nicht gebraucht wird, gar nicht fest.)

Entsprechend schreibt man dann auch $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \operatorname{Log} \end{eqnarray*}$ .

Diese Konvention wird in der Literatur allerdings nicht durchgängig eingehalten. Schau also in deinen Unterlagen nach, wie es dein Dozent hält.

09.03.2008, 09:48

Dual Space

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Zitat:

Original von pingu
Das spielt es ja nur eine Rolle, ob z positiv, negativ oder gleich 0 gewählt wird.

Wenn z komplex ist, ist eine solche Unterscheidung (bis auf gleich 0) i.a. nicht möglich.

09.03.2008, 17:19

pingu

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Ich verstehe immer noch nicht, wieso er nach $\begin{eqnarray*} i \cdot 2\pi \end{eqnarray*}$ springt... unglücklich

unglücklich

lg

09.03.2008, 17:25

AD

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Vergiss das mit dem Logarithmus. Deine endlosen Nachfragen haben das Beispiel jetzt zu Tode geritten.

Oder wenn du drauf bestehst, dann schau dir das hier an:

http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus...xer_Logarithmus

10.03.2008, 20:32

pingu

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ok, danke, ich schaus mir mal an.

lg

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