Komplexe Exponenten

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16.09.2005, 16:47	adler456	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Exponenten hi ich wollte mal wissen wie man es ausrechnen kann, wenn man potenzen mit imaginären exponenten hat Ich fang mal mit imaginären an $\begin{eqnarray} y=a^{i} \end{eqnarray}$ ein paar einfache überlegungen ergeben $\begin{eqnarray} y=a^{i}=? \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=(a^{i})^{i}=\frac{1}{a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=((a^{i})^{i})^{i}=\frac{1}{a^{i}}=? \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=(((a^{i})^{i})^{i})^{i}=a \end{eqnarray}$ das heißt, wenn ich eine zahl mit i potenzieren will, muss ich eine zahl finden die nochmal mit i potenziert 1/a lautet. mein taschenrechner spuckt mir zum Beispiel $\begin{eqnarray} 2^{i}=0,7692389014+0,6389612763i \end{eqnarray}$ wenn man diese zahl nochmal potenziert müsste da ca. 0,5 rauskommen. nur hab ich keinen blassen schimmer wie er auf diese zahl kommt. kann mir jemand meine fragen beantworten? und dann hab ich noch eine frage Warum ist $\begin{eqnarray} i^{-1}=-i \end{eqnarray}$ obwohl gilt $\begin{eqnarray} i^{-1}=\frac{1}{i}=\frac{1}{\sqrt{-1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{-1} \end{eqnarray}$ dann wäre $\begin{eqnarray} i=i^{-1} \end{eqnarray}$
16.09.2005, 17:18	pimaniac	Auf diesen Beitrag antworten »
ein kleiner tipp: z=x+yi und e^z=e^x(cos(y)+isin(y)) vielleicht hilft dir das. nicht vergessen i=0+1i also x=0 und y=1 spiel dich ein wenig mit der oberen Formel dann sollt alles klar sein
16.09.2005, 17:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen für beliebige komplexe Exponenten können nicht eindeutig definiert werden. Man muß eine Entscheidung treffen, für welchen Zweig des Logarithmus man sich entscheidet: $\begin{eqnarray} w^z = \operatorname{e}^{z \log{w}} \end{eqnarray}$ Und mit Potenzgesetzen ist das so eine Sache. Sie können nicht für beliebige komplexe Exponenten übernommen werden. Mehr dazu in Büchern zur Theorie der komplexen Funktionen (Funktionentheorie).
16.09.2005, 20:03	adler456	Auf diesen Beitrag antworten »
@pimaniac meinst du $\begin{eqnarray} e^{z}=e^{x}(cos(y)+isin(y)) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} e^{z}=e^{x(cos(y)+isin(y))} \end{eqnarray}$ ? ich denke mal du meinst die erste möglichkeit, denn die zweite würde mir nciht weiterhelfen und die erste liefert mir auch das was mein taschenrechner mir anzeigt. @leopold wie meinst du das für welchen zweig des logarithmus man sich man sich entscheidet? Und wie kommt man auf die von pimaniac genannte formel? mir bringt eine formel ncihts wenn ich nciht weiß warum das so ist.
16.09.2005, 20:46	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Exponentialfunktion ist im Komplexen periodisch: $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^{w+2\pi\operatorname{i}}=\operatorname{e}^w \end{eqnarray}$ . D. h., dass der Logarithmus nicht eindeutig ist. Um ihn jetzt zu definieren, musst du $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ auf einen Streifen der komplexen Zahlenebene einschränken, z.B. $\begin{eqnarray} \{w\in\mathbb C\ \|\ -\pi<\operatorname{Im}w\leq \pi\} \end{eqnarray}$ und das ist der sogenannte Hauptzweig. Siehe auch dem Wikipedia-Artikel dazu. Die von pimaniac benannte Formel ist $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^{\operatorname{i}y}=\cos y+\operatorname{i}\sin y\qquad \forall\ y\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Man kann sie auch auf komplexe Zahlen ausdehnen: $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^{\operatorname{i}z}=\cos z+\operatorname{i}\sin z\qquad \forall\ z\in\mathbb C \end{eqnarray}$ . Manchmal wird sie (die erste Gleichung mit den reellen $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ) als Definition erhoben, dann ist nichts zu beweisen. Meistens ist es aber so, dass $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^z \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \sin z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos z \end{eqnarray}$ für komplexe $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ über die Potenzreihen definiert werden. Und jetzt musst du nur in der Formel $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^{\operatorname{i}y}=\cos y+\operatorname{i}\sin y \end{eqnarray}$ die Potenzreihen einsetzen und erkennst dann hoffentlich die Gleichheit! Gruß MSS
17.09.2005, 13:37	adler456	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst du das so mit den potenzreihen? $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(yi)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^\infty~(-1)^{n}\frac{y^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^\infty~(-1)^{n}\frac{y^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray}$ oder wie? und was bedeutet das $\begin{eqnarray} Im w \end{eqnarray*}$
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17.09.2005, 21:50	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau so! Links jetzt noch $\begin{eqnarray} i^n \end{eqnarray}$ rausschreiben und dann geschickt die Summe aufteilen in zwei Summen. $\begin{eqnarray} \operatorname{Im}w \end{eqnarray}$ ist der Imaginärteil der komplexen Zahl $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
17.09.2005, 22:45	adler456	Auf diesen Beitrag antworten »
okay dann weiß ich es vielen dank für eure hilfe das problem ist nur, dass ich mich hier auf noch sehr wackligen pfad bewege, da ich so etwas noch nie hatte und ich in der taylor-reihen-entwicklung nicht grad die ahnung habe. Aber ich werd es noch lernen. das ich dies gefragt habe, war nur reine neugier, da ich komplexe zahlen schon länger kenne, aber noch nie komplexe exponenten hatte. Welchen praktischen nutzen hat dies eigentlich?
18.09.2005, 14:35	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat wirken besonders Komplexe Zahlen sehr abstrakt da man in der Schule leider keine Beispiele aus dem realen leben bringt. Aber generell kann man sagen, dass eines der Haupt-anwendunggebiete der Komplexen Zahlen in der Realität zweifelsohne das des Betriebswirtschafltichen Rechnungswesens ist. ein Freund von mir hat BWL studiert und war verwundert, oder eher erschrocken, als er plötzlich dauernd mit komplexen rechnen musste. dabei geht es hauptsächlich um entwicklungen am markt, die von mehr als einer anderen grösse abhängen, die man versuch in formeln zu fassen und zu berechnen. oder der klassiker: komplexe wiederstände in der physik .. servus
18.09.2005, 14:40	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte ja jetzt eher periodische Funktionen als Klassiker aus der Physik bezeichnet etwa Lösungen zu Schwingungsgleichungen aber nun gut.

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