Monotonie mit Induktion beweisen

09.03.2008, 09:29	LarsEUM	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie mit Induktion beweisen x0:=3 $\begin{eqnarray} xn+1=\frac{1}{2}(xn+\frac{3}{xn}) \end{eqnarray}$ So: IA: x1=2 IV: $\begin{eqnarray} xn+2\geq xn+1 \end{eqnarray}$ ???? Ist der Ansatz richtig? Und wie sieht dann der IS aus?
09.03.2008, 09:52	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie mit Induktion beweisen Es geht dir also um $\begin{eqnarray} x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{3}{x_n})? \end{eqnarray}$ Dann sollte dein IA $\begin{eqnarray} x_0\geq x_1 \end{eqnarray}$ lauten.
09.03.2008, 10:13	LarsEUM	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau darum gehts mir? Muss mir mal anlesen, wie man diese tiefgestellten zeichen hier erzeugt. Der IA: 2 kleiner als 3 trifft zu. Und nun?
09.03.2008, 10:17	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun versuch dich am IS $\begin{eqnarray} x_{n}\geq x_{n+1}. \end{eqnarray}$
09.03.2008, 11:14	Student	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wärs damit? I.A. (n=0): $\begin{eqnarray} x_1=\frac{1}{2}\left(x_0+\frac{3}{x_0}\right)=2 \leq 3=x_0 \end{eqnarray}$ I.V. Für beliebiges aber festes n gilt: $\begin{eqnarray} x_{n+1} \leq x_{n} \end{eqnarray}$ I.S. (n -> n+1): $\begin{eqnarray} x_{n+2}=\frac{1}{2}\left(x_{n+1}+\frac{3}{x_{n+1}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{x_{n+1}^2+3}{x_{n+1}}\right) \overset{I.V.}{\leq} \dots \end{eqnarray}$
09.03.2008, 11:42	LarsEUM	Auf diesen Beitrag antworten »
Das find ich recht einleuchtend, vielen dank.
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09.03.2008, 11:50	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh ja? Wie würdest du denn schließen?
09.03.2008, 14:32	Student	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt hab ich auch keine Ahnung, wie es weitergehen könnte - trotz längeren Nachdenkens. Würd mich aber jetzt schon mal interessieren, wie es weitergehen könnte. Hat da nicht jemand ne Idee?
10.03.2008, 11:17	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sollte erstmal zeigen, daß $\begin{eqnarray} x_n \geq \sqrt 3 \end{eqnarray}$ ist. Dann folgt $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\left(\frac{x_{n+1}^2+3}{x_{n+1}}\right) \leq x_{n+1} \end{eqnarray}$ relativ leicht aus $\begin{eqnarray} 3 \leq x_{n+1}^2 \end{eqnarray}$ und das ohne Verwendung der IV, was darauf hindeutet, daß es sich auch direkt zeigen läßt.
10.03.2008, 13:11	Student	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Weg gefällt mir. Aber wie kommt man möglichst schnell (ohne viel rumprobieren) auf die Idee, dass man zunächst $\begin{eqnarray} x_n \geq \sqrt{3} \end{eqnarray}$ zeigen muss?
10.03.2008, 13:51	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Man schaut sich mal $\begin{eqnarray} f(x) = 0,5 \cdot (x + \frac 3 x) \end{eqnarray}$ an.

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