Ziegenrätsel? [gelöst] - Seite 2

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04.05.2003, 02:10	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
ok :P glaub ich dir hast du schon ne Ahnung? Ich denke mal, dass das nicht einfach eine normale Zahl sein wird... sie muss grösser als 1 sein, aber kleiner als Wurzel2. Jetzt haben wir das mal eingegrenzt, wobei es dazwischen immer noch genug Zahlen gibt mfg
04.05.2003, 11:37	jama	Auf diesen Beitrag antworten »
ich sach mal so: die zahl liegt in der tat dazwischen du kannst ja mal alle zahlen durchgehen und ausprobieren, welche zahl passt. wenn du glück hast und mehr als 10 jahre brauchst, kriegste evt. auch einen nobelpreis (s. fermats rätsel)
04.05.2003, 15:24	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
wieso einen Nobelpreis? Nur weil ich länger als 10 Jahre daran rumgerätselt hab? Du hast die Lösung ja mfg
04.05.2003, 22:41	DeGT	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, er hat die Lösung dann aus Nettigkeit nicht (und wegen dem Schmiergeld...) und außerdem musst Du ja nicht jedem auf die Nase binden, wie du darauf gekommen bist! ich werde natürlich auch unter gewissen Umständen dicht halten... $_$
08.05.2003, 22:49	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube, ich hab die Lösung... ich hatte sie schon viel früher, aber da dachte ich, das kanns nicht sein, aber ich übersah etwas... ich rechne morgen noch nach, obs auch stimmt... mfg
09.05.2003, 20:27	jama	Auf diesen Beitrag antworten »
heute ist "morgen" steve rück mal raus mit deiner lösung, dann können wir ja mal vergleichen größer 1 und kleiner wurzel 2 war schon mal richtig
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10.05.2003, 01:00	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
neee...das stimmt nicht... ich hab da wieder was verpennt... wie habt ihr das gelöst? Mit welchen Funktionen? Ich hab heute versucht eine Gleichung aufzustellen, aber nachdem sie länger als 1 Zeile war, hab ich dann aufgehört, vor allem als ich merkte, dass ich irgendein Winkel nicht 90° und ich deshalb nicht einfach mit dem Sinus einen anderen Winkel berechnen kann... tja...aber ich glaube, wenn ich das alles noch ersetzt hätte, häts geklappt (wenn ich nächstes Jahr dann mit vereinfachen fertig gewesen wäre...) mfg
11.05.2003, 22:15	jama	Auf diesen Beitrag antworten »
ich poste mal den ansatz ... es sei denn du hast den schon. dann kann ich ja beim nächsten beitrag noch weitergehen
12.05.2003, 19:02	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
mal ne Frage dazu: wie lange ist PM lol nee...soweit war ich auch schon. Aber als ich dann ne Gleichung aufgeschrieben habe, wo alles von X abhängt (x= radius) hab ich es dann irgendwie versaut... mfg
12.05.2003, 19:13	jama	Auf diesen Beitrag antworten »
über den analytischen weg kommt man aber auch nicht weit. letzter schritt ist annäherung.... ich werd denn mal mein weg noch posten
12.05.2003, 19:17	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
ok wäre froh...glaub nämlich nicht, dass man das mit dem Wissen in meiner Stufe so schon lösen kann... mfg
24.05.2003, 16:43	jama	Auf diesen Beitrag antworten »
dann wollen wir mal auflösen .. sorry für die späte antwort
24.05.2003, 20:52	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
?? Ich komm bei dieser Konstruktion nicht mit... hat das irgendwas mit ableiten und integrieren zu tun? Oder wie? keinen Schimmer, wie du jetzt darauf gekommen bist... mfg
30.09.2003, 23:06	Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht erklärts dir der Jama nochmal? alten thread ausgrab
02.10.2003, 13:58	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung von Jama ist zwar richtig, aber verstehen tue ich sie nicht. 1. Wieso halbiert S die Strecke PM? Wenn wir die Schnittpunkte der beiden Kreise mit U und V bezeichnen, dann halbiert S vielmehr UV. 2. Wenn, wie du behauptest S die Strecke PM halbiert, dann ist das Dreieck PMU gleichseitig und alpha nicht von r abhängig. 3. Ich habe keine Ahnung, wie du auf die Gleichung kommst. Kannst du mich da aufklären?
02.10.2003, 14:44	jama	Auf diesen Beitrag antworten »
jo, haben wir auch schon festgestellt im icq. die zeichnung ist unvollständig. das ergebnis stimmt aber. bin aber zu faul die zeichnung zu überarbeiten und einen vernünftigen lösungsweg zu posten. folgende seite habe ich gefunden, die das ziegenrätsel vernünftig löst und mehrere möglichkeiten darlegt: klick hier
07.02.2004, 20:25	woohoo	Auf diesen Beitrag antworten »
also radius 1 U = 2pi die hälfte also pi pi= 2pir \| 2pi 1/2 = r ???
27.04.2004, 17:35	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Angeregt durch die Post von 'Leopold' http://matheboard.de/thread.php?threadid=2756&sid= hab ich das mit anderer Zielsetzung mal durchgerechnet ... (ohne des Wissens um eine schon vorhandene Lösung) wollte eine Formel für die Fläche NUR in Abhängigkeit von r und R. Da sie nun mal zustande gekommen und noch einigermaßen überschaubar ist, kann ich sie hier auch darlegen. Wollte das zwar in dem anderen Thread machen, da der jedoch geschlossen ist mach ichs hier. $\begin{align} F(r,R)\,=\, 0.5\,(\,(\arccos({\frac {2\,{r}^{2}-{R}^{2}}{{\it 2}\,{r}^{2}}})) \, (2 \,{r}^{2}-{R}^{2} )- R\sqrt {4\,{r}^{2}-{R}^{2}} \,+ \pi{R}^{2}\,) \end{align}$ wovon dann der Spezialfall F(1,R) - Pi/2 = 0 $\begin{align} F(1,R)-0.5\pi\,=\, 0.5\,(\,(\arccos({\frac {2\,-{R}^{2}}{{\it 2}\,}})) \, (2 \,-{R}^{2} )- R\sqrt {4\,-{R}^{2}} \,+ \pi{R}^{2}\,-\pi\,)\,=\,0 \end{align}$ ebenfalls zu der schon gefundenen Lösung: R= 1.15872847302 führt
27.04.2004, 18:17	Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie hast du das gerechnet? :] Gruß, Thomas
27.04.2004, 20:05	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst die numerische Lösung ? Nun die Formel lässt sich gut möglich durch irgendwelche geschickten Umformungen oder sonstigen Kniff's noch vereinfachen, aber so, dass dies einer algebraischen Lösung zugeführt werden kann, wohl kaum. Drüber hab ich mir deswegen auch keine weiteren Gedanken gemacht, auch nicht darüber wie evtl noch weiter zu vereinfachen. Ich denke, dass dies in der heutigen Zeit rausgeschmissene Energie ist. Algebraische Lösungen sind schön für Theorie usw. sofern sie zu erringen sind, aber in der Praxis besonders der heutigen mit Superrechenknecht Computer, dominieren die numerischen Methoden. Kein Grund weitere Energie da reinzustecken. Seit 'Meromorpher' mich in das Geheimnis eines solchen Rechen- knechtes eingeführt hat ist mir darum nicht mehr bange. Auch die Methoden die da im HG zum Einsatz kommen interessieren MICH nahezu nicht. Selbst mit einem simplen Basic-Prg, könntest du dir eine solche Funktion in Null Komma nix 'plotten' lassen und die Nullstelle praktisch beliebig genau ablesen indem du einfach das Intervall um die Nullstelle ständig verfeinerst und erneut plotten lässt. Von Newton und sonstigen Iterationsmethoden bräuchtest du dazu noch nicht mal was wissen. Wird ohne DIE nur umständlicher, aber das wars dann auch Mir schwebte ursprünglich eine algebraische Lösung vor, in der Form wie: R/r = ..... das hab ich dann aber schnell wieder fallen lassen, da das ZUMINDEST mit MEINEM Ansatz NICHT zu erreichen war, obwohl ich eigentlich genau deswegen diesen Ansatz gewählt hatte .... so kanns gehen . .
27.04.2004, 23:50	Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine den gesamten Rechenweg und Ansatz usw. Das mit den numerischen Methoden ist mir klar Gruß, Thomas
28.04.2004, 01:18	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach ich 'morgen', wenns dich echt interessiert, dann aber in einfacher und etwas abgekürzter Schreibweise. In der Formeldarstellung ist's zu aufwendig. (denk ich mal)
29.04.2004, 21:34	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
So, dann mal los ... (zwecks Übersicht eigene Skizze gemäß Beschreibung anfertigen, oder es macht sich wer die Mühe und stellt entsprechende hier ein) Ein gleichschenkliges Dreieck mit den 2 Schenkeln r und der Grundlinie R hat die auf R stehende Höhe H und die Fläche F H = sqrt(r²-(R/2)²) = sqrt(r²-R²/4) = 1/2 * sqrt(4r²-R²) F = 1/2 * R * h = R/4 * sqrt(4r²-R²) $\begin{align} F\,=\,R/2\,\cdot H\,=\,R/4\,\cdot\,\sqrt {4\,{r}^{2}-{R}^{2}} \end{align}$ Ein Kreissektor mit Sektorzentriewinkel a = 2* a/2 und Segmenthöhe h hat die Fläche: F= Pi * r² * a/360° = Pi * r² * (a/2)/180° = Pi * r² * (arc(a/2)) / Pi = = r² * arc(a/2) = r² * arccos(cos(a/2)) = ((( r² * arccos((r-h)/r) ))) $\begin{align} F\,=\,{r}^{2}\,{\it arc}(1/2\,\cdot\,\alpha)\,=\,{r}^{2}\,\arccos(\cos(1/2\,\cdot\alpha)) \end{align}$ Das zugehörige Kreissegment mit der Höhe h hat die Fläche F_segm = F_sektor - F_dreieck = .... .
29.04.2004, 21:58	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Kreis mit Mittelpunkt m und Radius r hat auf seiner Kreislinie den Mittelpunkt M eines zweiten Kreises mit Radius R liegen. (0 < R < 2r) Die Schnittpunkte der beiden Kreislinien seien S1 und S2 Der Winkel S2mS1 = 2a und Winkel S1MS2 = 2b Die gleichschenkligen Dreiecke mMS2 und S1Mm mit den Schenkeln r und der Grundlinie R sind kongruent und bilden zusammen den gleichschenkligen Drachen mS1MS2. Dessen Fläche ist: F_drachen = 2* F_dreieck = 2* R/4 * sqrt(4r²-R²) Im Dreieck mMS2 gelten folg. Beziehungen: mM=mS2=r und MS2=R Winkel S2mM=a und Winkel mMS2=b a=180°-2b cos(b)= (R/2)/r= R/2r 'Ziege' Die Schnittfläche der beiden Kreise ist die Summe der beiden Kreissegmentflächen rechts und links der Trennlinie S1S2. Die Kreissegmentflächen wiederum sind gleich der Fläche der entsprechenden Kreissektoren vermindert um die jeweils zugehörige Dreiecksfläche. Damit ergibt sich folgender Zusammenhang: F_ziege = =Kr_m_segm + Kr_M_segm =(Kr_m_sektor - F_S1S2m) + (Kr_M_sektor -F_S1MS2) =Kr_m_sektor + Kr_M_sektor - (F_S1S2m +F_S1MS2) =Kr_m_sektor + Kr_M_sektor - F_drachen =r² * arc(a) + R² * arc(b) - F_drachen =r² * arc(180°-2b) + R² * arc(b) - F_drachen .....(siehe Anmerkng) =r² * (Pi - 2arc(b)) + R² * arc(b) - F_drachen =Pir² - 2r²arc(b) + R² arc(b) -F_drachen =arc(b) * (R²-2r²) - F_drachen + Pir² =arccos(R/2r) (R²-2r²) - 2* R/4 * sqrt(4r²-R²) + Pir² $\begin{align} F(r,R)\,=\,\arccos({\frac {R}{2r}})\cdot ({R}^{2}-2\,{r}^{2} )\,-\,0.5 \cdot R \sqrt {4\,{r}^{2}-{R}^{2}}\,+\,\pi\,{r}^{2} \end{align}$ Auch hier liefert der Spezialfall F(1,R) - Pi/2 = 0 die schon bekannte Lösung: R= 1.15872847302* Anmerkung zu obiger Zeile: 'Ersetzt' man in jener Zeile UMGEKEHRT (beta durch alpha), so kommt man auf meine erstere Lösung raus ...
29.04.2004, 22:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es mir vor einiger Zeit einmal so überlegt. Es seien (bitte Skizze machen) W = Mittelpunkt des Kreises w vom Radius r ("Wiese") Z = Punkt auf w, in dem die Ziege angeleint ist z = Kreis um Z vom Radius R ("Ziegenkreis") A,A' seien die Schnittpunkte der Kreise w und z. Wir bestimmen zunächst den Inhalt F des Schnitts der Kreise w und z. Dieser Inhalt ergibt sich als Summe zweier Kreissektoren (der eine um W mit dem Mittelpunktswinkel 2p, der andere um Z mit dem Mittelpunktswinkel 2q, alle Winkel im Bogenmaß) minus dem Inhalt des Vierecks ZAWA', also F = pr² + qR² - r²·sin p Und da F gleich (1/2)·pi·r² sein soll, bekommt man die Gleichung pr² + qR² - r²·sin p - (1/2)·pi·r² = 0 . Hier dividiert man durch r² und erhält mit t = R/r: p + qt² - sin p - (1/2)·pi = 0, also wegen p+2q = pi: -2q + qt² - sin p + (1/2)·pi = 0 (#) Es ist (wegen der Gleichschenkligkeit von ZAM) cos q = R/(2r) = (1/2)·t, also q = arccos((1/2)·t). Weiter gilt: sin p = sin(pi-2q) = sin(2q) = 2·sin q·cos q = 2·cos q · wrz(1-cos²q) = t·wrz(1-(1/4)t²) [wrz = Wurzel] Somit erhält man aus (#), indem man p,q eliminiert: (t²-2)·arccos((1/2)·t) - t·wrz(1-(1/4)t²) + (1/2)·pi = 0 Bezeichnen wir die linke Seite der letzten Gleichung mit f(t), so gilt f(0) = -pi/2 und f(2) = pi/2. Ferner ist f'(t) = 2t·arccos((1/2)·t) > 0 im Innern von [0;2]. Damit besitzt f genau eine Nullstelle in [0;2]. Man kann sie z.B. mit dem Newton-Verfahren ermitteln: t = 1,1587...
30.04.2004, 13:30	Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, seh ich mir an Gruß, Thomas
02.06.2004, 17:36	Kontrollator	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte hier an dieser stelle nur mal dezent drauf hinweisen das es das Rätsel schon gab klick hier
03.06.2004, 01:20	Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hier ist aber der Original-Thread Gruß, Thomas
03.06.2004, 10:59	Kontrollator	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso da steht ja 4.5. 2003 und nicht 2004 :P
16.05.2008, 15:25	CPBach	Auf diesen Beitrag antworten »
Ziegenproblem Irgendwie bin ich auf ne algebraische Lösunge hingekommen die aber nich ganz der Näherung entspricht... ? r2 = r1/cos 30°
16.05.2008, 16:31	CPBach	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ziegenproblem Hier die Zeichnung[attach]8155[/attach]
25.12.2022, 13:15	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Numberphile hat ein neues Video zu dem Problem: "The Goat Problem" mit James Grime https://www.youtube.com/watch?v=ZdQFN2XKeKI (16 min) Es gibt jetzt eine "globale" Lösung.

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