Extremwertaufgabe: Rechteck in Kreis einschreiben -> maximaler Umfang

17.09.2005, 00:04

error@pc

Extremwertaufgabe: Rechteck in Kreis einschreiben -> maximaler Umfang

Hallo Leute

Ich hab follgende Aufgabe:
Ein Rechteck wird in einen Kreis mit dem Radius r eingeschrieben. Es ist das Rechteck mit dem maximalen Umfang zu berechnen.

Dazu hab ich follgendes ermittelt:
Zielfunktion: $\begin{eqnarray*} U(r) -> max. \end{eqnarray*}$
Hauptbedingung: $\begin{eqnarray*} U= 2(x+ y) \end{eqnarray*}$
Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} x^{2}= \sqrt{4 r^{2}- x^{2} } \end{eqnarray*}$

Die Nebenbedingung erhalte ich durch Pytagoras da $\begin{eqnarray*} d=2r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d^{2} = x^{2} +y^{2} \end{eqnarray*}$

siehe Anhang skizze.jpg für die Bezeichnung der Variablen

Die Hauptbedingung ist die Umfangsformel die ich differenzieren will.

Wenn ich jetzt sage
$\begin{eqnarray*} U=2(x+\sqrt{4 r^{2}- x^{2}} ) \end{eqnarray*}$

und nach dx differenziere:
$\begin{eqnarray*} U'=2-\frac{2x}{\sqrt{4x^{2}-x^{2}}} \end{eqnarray*}$

Nun setze ich die erste Ableitung 0:
$\begin{eqnarray*} 0=2-\frac{2x}{\sqrt{4x^{2}-x^{2}}} \end{eqnarray*}$

bekomme ich für x die Lösung
$\begin{eqnarray*} x= \sqrt{2r^{2} } \end{eqnarray*}$

setze ich das in meine Nebenbedingung ein erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} y= \sqrt{2r^{2} } \end{eqnarray*}$

was die Schlussfolgerung zulässt das ein Quadrat den maximalen Umfang hat.

Kann mir bitte jetzte jemand sagen ob das stimmt?
danke schon mal im vorraus

17.09.2005, 01:33

Poff

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RE: extremwertaufgabe Rechteck in Kreis einschreiben -> maximaler Umfang
Bis auf deine Schreibfehler stimmt das.

17.09.2005, 01:43

JochenX

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das ist größtenteils schon okay, und ich denke, dass ergebnis wird auch stimmen
aber da sind noch zu viele tippfehler drin, um das effektiv prüfen zu können

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^{2}= \sqrt{4 r^{2}- x^{2} } \end{eqnarray*}$

meinst du nicht eher y=....?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U'=2-\frac{2x}{\sqrt{4x^{2}-x^{2}}} \end{eqnarray*}$

hier und bei der drunterliegenden formel
soll das nicht r^2 heißen hinter der 4?

mfg jochen

ps: wenn ich das richtig erkenne, dann stimmts aber alles

edit: viel zu lange zum entziffern gebraucht
Wink

nabend poff

17.09.2005, 01:52

Poff

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.. nabend Loed, bin schon wieder weg Augenzwinkern

17.09.2005, 11:55

error@pc

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stimmt vielen dank
sind fast alles nur Tippfehler

hab ein paar mal x mit y vertauscht.

Aus dem Pytagoras bekomme ich natürlich
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{4r^{2}-x^{2} } \end{eqnarray*}$

ja und nach der Ableitung sollte da stehen
$\begin{eqnarray*} U' = 2- \frac{2x}{\sqrt{4r^{2} -x^{2} }} \end{eqnarray*}$

auf alle Fälle vielen Dank an euch
ciao Harry

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