Satz von Schwarz |
09.03.2008, 21:46 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Satz von Schwarz f(x,y) = 0 für (x,y) = (0,0) Das ganze 2 mal partiell differenzieren und an der Stelle (0,0) auswerten. Ich will zeigen, dass Mein Problem: Wenn ich partiell differenziere, bekomme ich bei (0,0) stets eine 0 im Nenner, was ja nciht erlaubt ist. Inwiefern muss ich aufpassen und ist es überhaupt der richtige weg, partiell abzuleiten und dann die Stelle einsetzen? Oder muss ich auch noch auf die Funktionsvorschrift beim Differenzieren achten? |
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10.03.2008, 07:04 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In dem Fall musst Du die Richtungsableitungen anschauen, wobei v ein Richtungsvektor ist. Sämtliche Grenzwerte müssen für eine differenzierbare Funktion gleich sein, für jede bel. Richtung v. D.h wenn Du zwei angibst kann wo dies nicht der Fall ist, ist die FUnktion selbst nicht differenzierbar in diesem Punkt. Dann hast Du Deine Voraussetzungen für Schwarz geprüft und kannst ihn nicht anwenden (Es sei denn natürlich die Funktion ist zweimal stetig diff'bar aber das sehe ich grade nicht ) |
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10.03.2008, 08:24 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn sie 2 Mal stetig diffbar, ist der Satz von Schwarz automatisch gültig? |
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10.03.2008, 08:46 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist die Voraussetzung für den Satz. Wenn zweimal stetig differenzierbar ist, dann gilt ... |
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10.03.2008, 14:02 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
allright, habs gelöst! danke |
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10.03.2008, 16:42 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Frage noch: Ich bin mir nicht mehr sicher, ob ich mit der ersten Ableitung den Differenzenquoitient bilde und dann schaue, was für die 2. Ableitung rauskommt oder ob ich die zweite Ableitung per Hand berechne nach allen Regeln und dann bei der fertigen Ableitung x und y jeweils gegen null schicke?! Ich möchte ja den Punkt (0,0) untersuchen. Es kommen unterschiedliche Ergebnisse für beide Wege raus. |
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10.03.2008, 17:00 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage ist nur wie. Was die anderen mit ihren Beiträgen sagen wollen, verstehe ich ehrlich gesagt nicht ganz. Hier geht es um das zweimalige partielle Differenzieren. Also muß man zuerst einmal differenzieren. Der Kalkül liefert für als partielle Ableitungen: Und für geht das direkt mit dem Differenzenquotienten. Für rechnet man: Das zeigt: Ähnlich zeigt man: Damit sind die ersten Ableitungen vollständig berechnet. Jetzt zu den gemischten zweiten Ableitungen. Es ist ja Zur Berechnung an der Stelle muß man also bei festem den Differenzenquotienten für aufstellen: Für liefert dir das . Und die andere gemischte Ableitung geht entsprechend. |
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10.03.2008, 17:11 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oha, ich habe andere erste Ableitungen raus (auch Komilitonen). Wir haben das mit Produkt und Kettenregel gemacht und da kommt nichts mit x^4 oder so raus. Wo kommt das her? |
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10.03.2008, 17:12 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, erweitert... |
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10.03.2008, 17:18 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, da kommt ja für beide 2. Ableitungen dasselbe raus, nämlich 0, oder nicht? |
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10.03.2008, 17:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe einmal , einmal als gemischte zweite Ableitung an der Stelle . |
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10.03.2008, 17:53 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und für den anderen Fall: Ist doch richtig oder? |
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10.03.2008, 17:55 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, ich hab im Nenner das x bzw. das y vergessen, verdammtes Latex ich komme nun auch auf 1 und -1. |
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10.03.2008, 18:00 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit den (noch anzubringenden Korrekturen) stimmt es nun. |
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10.03.2008, 18:01 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank! |
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09.05.2009, 18:53 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kann man am sinnvollsten zeigen, dass die Funktion zweimal partiell differenzierbar ist? Rein rechnerisch ist mir ja klar, dass es funktioniert - theoretisch müsste man ja zeigen, dass der Differentialquotient existiert... aber das ist ja nicht wirklich schön zu machen... |
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