rekursiv definierte Folge

10.03.2008, 00:45

JuliusSpringer

rekursiv definierte Folge

Folgende Aufgabe:

Die Folge an der ungeraden Quadratzahlen besitzt das Bildungsgesetz:
$\begin{eqnarray*} a_n =(2n-1)² \end{eqnarray*}$

a) Gib für ein rekursives Bildungsgesetz an! Begründe das die Folge streng monoton wachsend ist! Weiße nach, dass es keinen Grenzwert gibt.

b) Zeige durch vollständige Induktion, dass für die Summe der ersten n ungeraden Zahlen gilt:

$\begin{eqnarray*} a_1 + ... + a_n =\frac{1}{6}(2n-1) \cdot 2n \cdot (2n+1) \end{eqnarray*}$

Vorerst mal zur a)

Also die rekursive Folge habe ich gefunden mit:

$\begin{eqnarray*} a_n+1 = ( \sqrt{(a_n)} + 2)² \end{eqnarray*}$

So jetzt der monotonie Nachweis:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_n+1}{a_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$

Jo und hier scheitere ich, da ich in einmal $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bekomme:

$\begin{eqnarray*} \frac{ ( \sqrt{(a_n)} + 2)² }{(2n-1)²} \geq 1 \end{eqnarray*}$

10.03.2008, 00:50

Bjoern1982

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Du musst dein n+1 schon in die explizite Vorschrift einsetzen:

$\begin{eqnarray*} a_n =(2n-1)² \end{eqnarray*}$

10.03.2008, 00:57

JuliusSpringer

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Ahh hab mich übrigens auch in der Schreibweise vertan:

$\begin{eqnarray*} \frac{ ( \sqrt{(a_{n+1})} + 2)² }{(2n-1)²} \geq 1 \end{eqnarray*}$

Und wo soll ich jetzt n+1 einsetzen? in die expliziete, also

$\begin{eqnarray*} \frac{ ( \sqrt{(a_{n+1})} + 2)² }{(2(n+1)-1)²} \geq 1 \end{eqnarray*}$

Aber dann hab ich ja immer noch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

10.03.2008, 00:58

JuliusSpringer

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Ahh nein nein, soll natürlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$ und

latex]\frac{ ( \sqrt{(a_{n})} + 2)² }{(2(n+1)-1)²} \geq 1[/latex] heißen!

10.03.2008, 01:19

JuliusSpringer

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Sry für Tripplepost!
Achso du meinst folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(2(n+1)-1)²}{(2n-1)²} \geq 1 \end{eqnarray*}$

d.h.:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1)²}{(2n-1)²} \geq 1 \end{eqnarray*}$

Umformen:

$\begin{eqnarray*} (2n+1)² \geq (2n-1)² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4n^2+4n+1) \geq (4n^2-4n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4n) \geq (-4n) \end{eqnarray*}$

Ist damit der Beweis fertig?

10.03.2008, 01:35

Bjoern1982

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Ja, damit ist klar, dass für alle natürlichen Zahlen n die Folge streng monoton wachsend ist. Für strenge Monotonie muss allerdings größer 1 und nicht größer oder gleich 1 gelten.

Björn

10.03.2008, 01:54

JuliusSpringer

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Okay!

Das habe ich auch verstanden, habe aber das Zeichen nicht gefunden smile

Viel Dank für die Bestätigung!

Nun zur vollständigen Induktion, ich will hier nicht alles formal aufschreiben, weil er zu viel Zeit kosten würde!

Also im Prinzip, hab ich das hier!

$\begin{eqnarray*} a_1 + ... + a_n =\frac{1}{6}(2n-1) \cdot 2n \cdot (2n+1) \end{eqnarray*}$

Nun muss ich das ganze für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ aufdröseln.

Sprich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}(2n-1) \cdot 2n \cdot (2n+1) + a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Für:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 2(n+1)-1)² \end{eqnarray*}$

muss das gleiche sein wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}(2(n+1)-1) \cdot 2(n+1) \cdot (2(n+1)+1) \end{eqnarray*}$

oder ist das vollkommender HUMBUCK?

10.03.2008, 08:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von JuliusSpringer
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 2(n+1)-1)² \end{eqnarray*}$

Klammer vergessen: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = (2(n+1)-1)^2 \end{eqnarray*}$

Sonst ok. Und den Induktionsanfang nicht vergessen. Augenzwinkern

10.03.2008, 13:50

JuliusSpringer

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Gut also die linke Seite:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}(2n-1) \cdot 2n \cdot (2n+1) + (2(n+1)-1)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das weiter Auflöse, komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} = \frac{4n^3}{3} + (2n+1)^2- \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite ist bei mir:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}(2(n+1)-1) \cdot 2(n+1) \cdot (2(n+1)+1) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das weiter Auflöse, komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} (n+1)(2n+3) \cdot \frac{2n+1}{3} \end{eqnarray*}$

Die sind jetzt nicht gleich, sollten sie aber doch.

Wo ist mein fundamentaler Denkfehler versteckt?
Muss ich was mit der rekursiven Formel anfangen, oder brauch ich das für die Summenentwicklung nicht?

10.03.2008, 17:31

WebFritzi

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RE: rekursiv definierte Folge

Zitat:

Original von JuliusSpringer
Also die rekursive Folge habe ich gefunden mit:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = ( \sqrt{(a_n)} + 2)² \end{eqnarray*}$

Ich glaube, es ist eher sowas gemeint wie

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = (2(n+1) - 1)^2 = (2n+1)^2 = (2n)^2 + 4n + 1 = (2n)^2 - 4n + 1 + 8n = (2n-1)^2 + 8n = a_n + 8n. \end{eqnarray*}$

Nicht, dass deine Formel falsch wäre...

10.03.2008, 18:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von JuliusSpringer
Wenn ich das weiter Auflöse, komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} = \frac{4n^3}{3} + (2n+1)^2- \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$

Das kann irgendwie nicht stimmen. Wenn man da für n 1 einsetzt, dann kommt keine ganze Zahl raus. Augenzwinkern

10.03.2008, 19:15

JuliusSpringer

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Ah sorry, hab falsch aufgeschrieben, kommt natürlich:
$\begin{eqnarray*} = \frac{4n^3}{3} + (2n+1)^2- \frac{n}{3} \end{eqnarray*}$

Trotzdem stimmen beide Terme nicht überein!

11.03.2008, 09:23

klarsoweit

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Dann muß man eben etwas weiter rechnen:

$\begin{eqnarray*} (n+1)(2n+3) \cdot \frac{2n+1}{3} = (2n^2+5n+3) \cdot \frac{2n+1}{3} = \frac 1 3 \cdot (4n^3+12n^2+11n+3) = ... = \frac{4n^3}{3} + (2n+1)^2- \frac{n}{3} \end{eqnarray*}$
smile

11.03.2008, 13:51

JuliusSpringer

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okay,

habe es vereinfacht und stimmt überein!

Vielen dank! War eben zu faul um auszurechnen smile

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