Extremalprobleme: Rechteck in einem Halbkreis

10.03.2008, 17:13

katro

Extremalprobleme: Rechteck in einem Halbkreis

Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Ein Tunnel von 12m Länge besitzt einen halbkreisförmigen Querschnitt von 8m Durchmesser. Durch den Einbau zweier vertikaler Wände und einer horizontalen Wand aus Stahlblech (Wandstärke vernachlässigbar) soll ein Durchgang mit rechteckigem Querschnitt geschaffen werden. Welche Höhe h und welche Breite b muss der Durchgang erhalten, damit seine Querschnittsfläche maximal wird?
(Hinweis: Pythagoras)

Ich habe bereits folgende Ansätze:

1.) Skizze:
[attach]7765[/attach]

2.) Hauptbedingung: $\begin{eqnarray*} A(b;h)=b*h \end{eqnarray*}$
3.) Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} \frac{b^{2}}{4}+ h^{2}=16 \end{eqnarray*}$
4.) Zielfunktion:
$\begin{eqnarray*} h^{2}=16- \frac{b^{2}}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h=\sqrt{16-\frac{b^{2}}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(b)=b*\sqrt{16-\frac{b^{2}}{4} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A(b)=b*(16-\frac{b^{2}}{4})^{ \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

beim weiteren bin ich mir nicht mehr so sicher und da bekomme ich auch kein gescheites ergebnis, ich schreibs hier trotzdem hin, hoffe jemand entdeckt meinen Fehler
5.) Extremalrechnung
$\begin{eqnarray*} A'(b)=\frac{1}{2}*b*(16-\frac{b^{2}}{4})^{-\frac{1}{2}}=0 \end{eqnarray*}$
ist die Ableitung so richtig?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*b* \frac{1}{\sqrt{16-\frac{b^{2}}{4}} }=0 \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt mit der wurzel multipliziere steht nur noch da:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*b=0 \end{eqnarray*}$
und daraus würde ja dann folgen
$\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$

Das ist doch nicht logisch. Irgendwo muss ich da einen Fehler haben, aber ich find ihn im Moment nicht unglücklich

Sieht ihn einer?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!

10.03.2008, 17:32

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung ist falsch, weil du die Produktregel vernachlässigt hast.
Du kannst aber die Ansatzfunktion dahingehend vereinfachen, indem du deren Quadrat betrachtest, denn dieses hat an den gleichen Stellen sein Extremum wie die Ansatzfunktion, allerdings musst du die Nullstellen der Funktion davon ausnehmen.

$\begin{eqnarray*} A(b)=b \cdot \sqrt{16-\frac{b^2}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{A}(b)=b^2 \cdot (16-\frac{b^2}{4}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{A}(b)=16b^2 - \frac{b^4}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{A} \ '(b)=32b - b^3 = b(32 - b^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

10.03.2008, 17:44

katro

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh nicht ganz warum ich einfach das Quadrat nehmen kann. Woran seh ich das?

10.03.2008, 19:04

katro

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab das jetzt mal so gerechnet.
Dann bekomm ich b=5,66 und h=2,83 raus.

Eine Frage hätte ich noch.

Kann ich bei egal welcher Funktion, das Quadrat der Ansatzfunktion betrachten?

und Vielen Dank nochmal für die Hilfe!

10.03.2008, 22:09

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du gelesen?

Zitat:

Du kannst aber die Ansatzfunktion dahingehend vereinfachen, indem du deren Quadrat betrachtest, denn dieses hat an den gleichen Stellen sein Extremum wie die Ansatzfunktion, allerdings musst du die Nullstellen der Funktion davon ausnehmen.

Warum ist das so?

$\begin{eqnarray*} A = f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{A}(x) = f^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{A} \ '(x) = 2 f(x) \cdot f \ '(x) \end{eqnarray*}$

Beim Nullsetzen sehen wir wieder, dass

$\begin{eqnarray*} f \ '(x) = 0 \end{eqnarray*}$

allerdings müssen wir natürlich auf Lösungen von f(x) = 0 verzichten, weil dieser Faktor erst nach dem Quadrieren durch die Ableitung des Quadrates hinzugekommen ist!

Somit ist deine Frage mit "JA" zu beantworten.

$\begin{eqnarray*} b = \sqrt{32} = 4 \sqrt 2; \ h = \sqrt 8 = 2 \sqrt 2 \ \ \to b = 2h \end{eqnarray*}$

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Extremalprobleme: Rechteck in einem Halbkreis

Verwandte Themen