Konsistenzordnung und Diskretisierungsfehler

17.09.2005, 14:55	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Konsistenzordnung und Diskretisierungsfehler Es geht darum die Konsistenzordnung einer Differentialgleichung zu bestimmen, in meiner Literatur steht: $\begin{eqnarray} \|\phi(t_n,h)=z(t_n+h)-y_{n+1} \end{eqnarray}$ mit z als der exakten Lösung des Anfangswertproblemes! Dann hätte das Verfahren die Konsistenzordnung p falls: $\begin{eqnarray} \|\phi(t_n,h)\|\leq C\cdot h^{p+1} \end{eqnarray}$ und C eine Konstante > 0. Es muss doch auch einfacher gehen, sonst kann ich: Gegeben sei das modifzierte Euler Verfahren $\begin{eqnarray} u_{i+1}=u_i+h_i\cdot f(t_i+\frac{h_i}{2},u_i+\frac{h_i}{2}f(t_i,u_i)) \end{eqnarray}$ zur Lösung der Differentialgleichung $\begin{eqnarray} y'=f(t,y),y(0)=y_0 \end{eqnarray}$ - Bestimmen Sie die Konsistenzordnung. - Konvergiert das Verfahren? Wenn ja, mit welcher Ordnung? Ich wüßte nicht wie ich da rangehen sollte, da ich ja keine exakte Lösung habe Gibt es denn keinen einfachen Weg die Konsistenzordnung und ob das Verfahren konvergiert zu bestimmen?
19.09.2005, 14:50	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie niemand der etwas dazu schreiben kann? Nichteinmal du Arthur Dent???
19.09.2005, 15:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht mal ich. (Wenn man keine Ahnung hat, einfach mal Klappe halten. Daran wollte ich mich halten - aber wenn du mich so direkt ansprichst...) Ich habe eine ungefähre Ahnung davon, worum es geht, aber eben nur ungefähr. Könnte sein, dass man mit Taylorentwicklung bzgl. $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ sowohl von $\begin{eqnarray} z(t+h) \end{eqnarray}$ einerseits als auch von $\begin{eqnarray} f\left(t+\frac{h}{2},u+\frac{h}{2}f(t,u)\right) \end{eqnarray}$ andererseits irgendwie weiter kommt.
19.09.2005, 15:21	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht doch schon mal nach was aus, kannst du das vielleicht ein bisschen ausführen. (Nur mal so am Rande, der Prof ist ganz neu Prof und nichtmal der Tutor konnte als die Aufgaben lösen...)
19.09.2005, 15:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht bringst du ja erst mal ein wenig Ordnung in deine Darstellung: So wie ich das verstehe, gilt für die Zeitpunkte $\begin{eqnarray} t_{i+1}=t_i+h_i \end{eqnarray}$ . Dann verwendest du $\begin{eqnarray} u_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ , für mich sieht es so aus, als sind beide identisch, also $\begin{eqnarray} u_i\equiv y_i \end{eqnarray}$ , und kennzeichnen die Näherung von $\begin{eqnarray} z(t_i) \end{eqnarray}$ . Bei $\begin{eqnarray} \phi(t_n,h)=z(t_n+h)-y_{n+1} \end{eqnarray}$ würde ich noch tippen, dass das nur für $\begin{eqnarray} 0\leq h\leq h_n \end{eqnarray}$ betrachtet wird. Oder ist $\begin{eqnarray} h=h_i \end{eqnarray}$ und letztere sind alle gleich, oder wie, oder was ... Und dass hier $\begin{eqnarray} \|\phi(t_n,h)\|\leq C\cdot h^{p+1} \end{eqnarray}$ halte ich i.a. schlicht für nicht erfüllbar, wenn n>0 ist. Denn mit $\begin{eqnarray} h=0 \end{eqnarray}$ (bzw. $\begin{eqnarray} h\searrow 0 \end{eqnarray}$ ) müsste dann $\begin{eqnarray} \phi(t_n,0)=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} z(t_n)=y_{n+1} \end{eqnarray}$ gelten. Kann natürlich sein, dass ich das alles ganz falsch verstanden habe, aber daran ist wie erwähnt deine Darstellung nicht ganz unschuldig.
19.09.2005, 15:41	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist so 1:1 vom Übungszettel abgeschrieben. Das Verfahren selber bzw. die paar Zeilen sind aus einem Buch und haben damit eigentlich auch nichts mit dem Fettgedruckten zu tun.
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19.09.2005, 15:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich mich im Detail jetzt auch erst einlesen müsste, kannst du das auch gleich selbst tun http://de.wikipedia.org/wiki/Runge-Kutta-Verfahren Irgendwo dort ist auch dein Problem einordbar. EDIT: Wenn ich das richtig sehe, entspricht dein "modifiziertes Eulerverfahren" haargenau dem "Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 2".

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