Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Raum

11.03.2008, 10:43

Wizard

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Raum

Gesucht ist der Punkt der zu 3 Punkten die gleiche Entfernung hat, bzw. der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Beispiel: A(2/1/3) B (6/7/12) C(1/0/0)

Bitte diese Vorgehensweise überprüfen und ggf. eine schnellere Möglichkeit posten.

g1: M1+t*r1
g2: M2+v*r2

M1=(A+B)/2
M2=(B+c)/2

P ist der gesuchte Punkt
r1=M1P ist die Richtung von M1 zu P
P in E(abc) P ist Punkt in der Ebene abc

P=A+t*AB+v*AC
r1 senkrecht zu AB also M1P * AB =0

das gleiche noch mal für g2
Löse (g1=g2)

11.03.2008, 10:58

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Raum
scheint im prinzip richtig.
einfacher geht es aber mit dem normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der ebene ABC so:

$\begin{eqnarray*} g_1 : \vec{x}=\vec{m}_1 +t\overrightarrow{AB}\times\vec{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2 : \vec{x}=\vec{m}_2 +t\overrightarrow{BC}\times\vec{n} \end{eqnarray*}$

rest wie oben

11.03.2008, 11:38

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wizard
Gesucht ist der Punkt der zu 3 Punkten die gleiche Entfernung hat, bzw. der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Da du so explizit vom dreidimensionalen Raum sprichst: Es gibt nicht nur den Punkt mit dieser Eigenschaft, sondern eine ganze Gerade! Deiner Rechnung nach soll der Punkt P aber wohl auch noch in der Ebene der drei Punkte A,B,C liegen - erst dann wird es in der Tat eindeutig. Augenzwinkern

11.03.2008, 11:57

Wizard

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal.
@ Arthur Dent. Hast recht, der Punkt soll auch auf der Ebene liegen, wird ja danach auch deutlich smile

. Wie würde man sonst die Gerade bestimmen? Diese Gerade könnte man doch sonst mit einer Ebene schneiden lassen um einen Punkt zu ermitteln?!

@riwe könnte ich als $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ z.B folgenden nehmen?
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{BC} \end{eqnarray*}$

11.03.2008, 12:09

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

11.03.2008, 13:45

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Der geometrische Ort aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ denselben Abstand haben, ist die Symmetrieebene $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ der Punkte $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ . Die Gleichung kann man sofort angeben: Der Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ ist ein Punkt der Symmetrieebene, $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ ein Normalenvektor.
Analog bestimmst du die Symmetrieebene $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ der Punkte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .
Dann hast du noch die Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , in der $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ liegen.

Den gesuchten Punkt zu bestimmen, heißt nun, das lineare Gleichungssystem, das durch die Ebenen $\begin{eqnarray*} E,F,G \end{eqnarray*}$ bestimmt ist, zu lösen.

12.03.2008, 13:13

Wizard

Auf diesen Beitrag antworten »

@ riwe
Also sehe das in dem konkreten Fall so aus?

g1: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 7,5 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 4\\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

g2: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 0,5 \\ 1,5 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -1\\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

g1: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\7,5 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -15\\ -89 \\ 66 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

g:2 $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 0,5 \\ 1,5 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 7\\ 29 \\ -12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

@ Leopld
F: $\begin{eqnarray*} ( \vec{x} - \begin{pmatrix} 4\\ 4 \\ 7,5 \end{pmatrix} )\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
G: $\begin{eqnarray*} ( \vec{x} - \begin{pmatrix} 1,5\\ 0,5 \\ 1,5 \end{pmatrix} )\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
E: $\begin{eqnarray*} ( \vec{x} - \begin{pmatrix} 6\\ 7 \\ 12 \end{pmatrix} )\cdot \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

(Hoffe ich habe alle Tippfehler gefunden^^)

Hab ich mom grad nen Blackout und weiß net wie wann die Gleichungen auflösen müsste, bzw wie die Matrizen aussehen müssten.
Bin schon gespannt ob bei beiden das gleiche Ergebnis rauskommt^^

12.03.2008, 14:12

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

mein teil stimmt Freude