ganz einfaches integral

11.03.2008, 16:03

praunss

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ganz einfaches integral

Wie immer bei meinen topics: total simple aufgabe, aber ich packs eifnach net, habs ne stunde probiert und jetzt langts ^^

das integral ist: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ außenrum natrülich integral dx;

gelöst weren soll das durch den hauptsatz der diff und int rechnung, also durch nachdenken, was die stammfunktion sein könnte;
nun sieht man ja gleich dass da irgendwie die ableitung vom arctan drinsteckt die ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ ist;
aber wie zum geier bring ich da eine nicht konstante als faktor dazu?? traurig

traurig

danke für jede hilfe

11.03.2008, 16:07

Duedi

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Sag mal machst du grad dasselbe wie ich?^^ Kuck mal hier rein: Bogenmaß des Einheitskreises

EDIT: Sehe grad, das da schon Unterschiede sind, aber der Grundgedanke kann dir evtl helfen

Wink

Wink

Philipp

11.03.2008, 16:17

habac

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{1+x^2}= \frac{1+x^2-1}{1+x^2}= \frac{1+x^2}{1+x^2}- \frac{1}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ so kommst Du auf den arctan x

11.03.2008, 16:20

praunss

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args...danke euch beiden Augenzwinkern

Augenzwinkern

dieses ewige rumtricksn mit irgendwelchen zahlen und variablen bringt mich noch auf die palme...

11.03.2008, 16:34

Tomtomtomtom

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Das ist kein rumtricksen, das ist DER Standardtrick bei ganzrationalen Funktionen, wenn der Zähler und Nenner gleichen Grad haben. Du kannst immer erreichen, daß der Grad des Zählers mindestens um 2 kleiner ist als der des Nenners, und zwar mit der folgenden Prozedur, die man schon kennen sollte:

Zählergrad>Nennergrad: Polynomdivision ausführen, danach ist für den Rest Zählergrad <= Nennergrad

Zählergrad = Nennergrad: einen Summanden produzieren, bei dem der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, dieser ist ganz einfach zu integrieren und für den Rest gilt danach Zählergrad <= Nennergrad-1

Zählergrad = Nennergrad-1: einen Summanden produzieren, in dem der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist, dieser ist ganz einfach zu integrieren (logarithmische Integration) und für den Rest gilt Zählergrad <= Nennergrad-2

Erst danach sollte man überhaupt erst an eine Partialbrucherlegung denken.

11.03.2008, 17:57

praunss

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Das ist kein rumtricksen, das ist DER Standardtrick...

tricksen kommt von dem NomenTrick oder ^^

Aber zu was anderem:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+sinx} \end{eqnarray*}$
ähnliches Problem: habe versucht es irgendwie mit dem ln zu lösen, aber bin wieder gescheitert ...ich konnte viele so lösen, aber da häng ich wieder ne halbe ewigkeit; hab versucht sin zu ersetzen nach pythagoras, oder irgendwie was handfestes zu bekommen, nix wars.

vllt hat jemand nen winzigen tipp, ich will ja gar keine lösung von euch, nur den zündenden funken, danke smile

smile

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11.03.2008, 18:03

Duedi

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Erstmal muss ich habac tadeln! Diese Art von "Hilfe" ist hier nicht erwünscht, siehe auch Prinzip - Mathe online verstehen!. Wie praunss ganz richtig sagt, ist ein "zündender Funke" das, was hier geliefert wird, nicht die vollständige Lösung des Problems, da letzteres niemandem hilft.

11.03.2008, 18:35

Tomtomtomtom

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Da hilft ein weiterer Standardtrick, den man kennen sollte, die sogenannte Generalsubstitution (http://de.wikipedia.org/wiki/Generalsubstitution)

11.03.2008, 19:03

AD

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Oder so, unter Einsatz des Additionstheorems $\begin{eqnarray*} \cos(2z)=2\cos^2(z)-1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\sin(x)} = \frac{1}{1+\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{2\cos^2\left( \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)} \end{eqnarray*}$

Bringt natürlich nur was, wenn man an $\begin{eqnarray*} (\tan(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ denkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.03.2008, 20:39

praunss

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@tomtomtomtom:

Wie am anfang geschrieben, soll ich das lösen indem ich die stammfunktion "sehe", ohne substitution, partielle integration etc
aber danke trotzdem, gell

11.03.2008, 21:17

Mazze

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In Deinem Eingangspost steht nur

Zitat:

gelöst weren soll das durch den hauptsatz der diff und int rechnung, also durch nachdenken, was die stammfunktion sein könnte;

und das Du die Stammfunktion sehen sollst hast Du Dir wohl nur dazu gedacht (es sei den es steht explizit in der Aufgabe). Aber ich wette da steht nur "Mit Hilfe des Hauptsatzes...", und auch wenn man substituiert/partiell Integriert verwendet man am ende den Hauptsatz Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.03.2008, 23:29

Tomtomtomtom

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Kann es sein, daß das ganze eine Fangfrage ist, und die Antwort lautet

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_0^x \frac{1}{1+sin(x)}dt \end{eqnarray*}$ ?

Weil der Hauptsatz ja gerade besagt, daß das eine Stammfunktion ist. Ich kann mir nicht vorstellen, aus welchem Grund man sonst explizit den Hauptsatz in der Aufgabenstellung erwähnen sollte.

12.03.2008, 09:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Zählergrad>Nennergrad: Polynomdivision ausführen, danach ist für den Rest Zählergrad <= Nennergrad

Genau genommen ist bei dem Rest immer Zählergrad <= Nennergrad - 1. smile

smile

Zitat:

Original von Tomtomtomtom
$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_0^x \frac{1}{1+sin(x)}dt \end{eqnarray*}$ ?

Kleine Verbsserung: $\begin{eqnarray*} F(x)=\int_0^x \frac{1}{1+sin(t)}dt \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.03.2008, 12:01

praunss

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Nochmal zum Hauptsatz:
In der Vorlesung haben wir den Hauptsatz gemacht (Stammfunktion zu ner Funkion) und danach haben wir partielle Integration, Substitution etc als Techniken gemacht; und genauso sieht es auf dem Blatt aus, dh. erst aufgaben zum hauptsatz dann zu partiellen und so weiter
deswegen weiß ich ich solls "sehen" Augenzwinkern

Augenzwinkern

sry war vllt unklar

12.03.2008, 12:27

praunss

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sry für den doppelpost:

so wies arthur gemacht hat, so soll ich das lösen
aber geht das net irgendwie einfacher ? ^^ ich find ie lösung gut, aber drauf gekommen wär ich wahrsch. nie

12.03.2008, 13:04

klarsoweit

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Bei Integralen der Form $\begin{eqnarray*} \int ~ g(\sin x, \cos x) ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ mit einer gebrochen rationalen Funktion g hilft auch ein Blick ins Integralkochbuch:

Nutze die Beziehung:

$\begin{eqnarray*} sin(x) = sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}) = 2tan(\frac{x}{2})cos^2(\frac{x}{2}) = 2 \cdot \frac{tan(\frac{x}{2})}{1+tan^2(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

Substituiere $\begin{eqnarray*} u = tan(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Weg von Arthur Dent ist natürlich direkter.

12.03.2008, 13:56

praunss

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noch ein letztes zu dem thema:
ich konnt jetzt alles lösen, wie immer hat mir das matheboard sehr geholfen, trotzdem gibts eine letzte aufgabe bei der mir der nötige trick fehlt:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1-x^4} \end{eqnarray*}$
erst hab ich mit ln angesetzt, dann mit dem arcta, aber der funzt ja auch nur bei 1+irgendwas im nenner, so wie ich das sehe.
hab auch mit dem erweiterungstrick von vorhin gearbeitet, dann kürzt sich zwar was weg, aber helfen tut mir das nicht wirklich.
bitte ein kleiner tipp

12.03.2008, 14:03

klarsoweit

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Hier würde sich erstmal eine Partialbruchzerlegung anbieten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.03.2008, 14:32

Duedi

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Als Anregung: Partial Fractions - Part 4. Wenn du englisch kannst, hilft dir das evtl weiter.

12.03.2008, 14:45

Dual Space

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Zitat:

Original von Duedi
Als Anregung: Partial Fractions - Part 4. Wenn du englisch kannst, hilft dir das evtl weiter.

Typisch amerikanisch ... die kommen ewig nicht zum Punkt. Big Laugh

Big Laugh

12.03.2008, 15:25

praunss

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nicht vergessen leute: keine partialbruchzerlegung, keine methoden
nur "sehen" das ist mein problem smile

smile

12.03.2008, 15:42

klarsoweit

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Verstehe jetzt das Problem nicht.

Wenn gebrochen rationale Funktion ==> Partialbruchzerlegung.

Da gibt es es doch nicht viel zu sehen.

12.03.2008, 16:56

praunss

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das problem ist, dass ich keine partialbruchzerlegung benutzen darf, genauso wenig wie substitution oder partielle int. smile

smile

12.03.2008, 17:04

AD

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Zitat:

Original von praunss
so wies arthur gemacht hat, so soll ich das lösen

Das ist schon ein Glücksfall, dass das so schön klappt. Die von Tom^4 vorgeschlagene Methode der Generalsubstitution ist da deutlich "solider" und erfordert auch kein gutes "Auge" ( Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Sie führt bei solchen Funktionen nach erfolgter Substitution zuverlässig zu gebrochen rationalen Integranden, die sich mit PBZ knacken lassen.

Diese "Verbote", was bestimmte Integrationsmethoden betrifft, finde ich schon recht merkwürdig - zumal beim vorliegenden Integral... verwirrt

verwirrt

12.03.2008, 17:09

Mazze

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Zitat:

Diese "Verbote", was bestimmte Integrationsmethoden betrifft, finde ich schon recht merkwürdig - zumal beim vorliegenden Integral...

Ich vermute auch das diese Beschränkungen so nicht in der Aufgabenbeschreibung stehen. Laut Praunss Aussage beschäftigen sich die Aufgaben nach dieser mit Partialbruch Zerlegung usw. aber das heisst noch lange nicht das sie für diese Aufgaben verboten ist. Es sei den es steht expliziet drin...

12.03.2008, 17:21

tmo

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Dann "sehen" wir halt jetzt mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1-x^4}=\frac{1}{4} \cdot \frac{4x}{1-x^4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2x(1+x^2)+2x(1-x^2)}{1-x^4} \end{eqnarray*}$

Aber mich würde es trotzdem wundern, wenn PBZ explizit verboten ist, da das ja eigentlich nichts anderes ist, nur dass man "gesehen" hat, anstatt den Standardansatz zu machen.

12.03.2008, 21:11

praunss

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naja, im endeffekt isses mir egal , bin froh wenn ichs überhaupt lösen kann ^^

aber so sind bei uns die aufgaben immer aufgebaut:
zu jedem teil gibts aufgaben, ein paar zum hauptsatz, ein paar zur partialbruchzerl. , ein paar substitution usw.
wenn ich jetzt die für den hauptsatz mit partialbruchzerl. lös, kommt mir des so vor als sollt es anders auch zu lösen sein

12.03.2008, 21:27

AD

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Aha: Substitution ist schon verbraten, das darf ich jetzt bei der nächsten Aufgabe nicht mehr verwenden...

Über diese Art Verständnis der Mathematik kann ich nur entsetzt den Kopf schütteln. Für mich steht die Problemlösung im Mittelpunkt statt eines solch starren Kastendenkens.

12.03.2008, 23:01

praunss

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naja, wenn mans grad lernt find ichs hilfreich, da man sieht wie man bestimmte aufgaben am besten lösen kann; ich denke die aufgaben sind so gestellt dass man sie mit einer bestimmten methode lösen kann und sieht "aha, die ging so ganz gut" *merk*
wenn man die dinger dann drauf hat, isses blödsinn das is klar, aber am anfang find ichs wie gesagt net schlecht smile

smile

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