Durchstoßtpunkt Grade-Ebene

17.09.2005, 15:46

Fragender

Durchstoßtpunkt Grade-Ebene

Hi, ich habe eine Grade und eine Ebene:

$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}*\vec{x}-16=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}+r \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie rechne ich den Durchstoßpunkt aus, bzw. wie muss ich Grade/Ebene umformen..? Und wie rechne ich den Neigungswinkel zwischen Grade und Ebene aus? Einfach die Normalverktor Winkel nehmen? Plz Help!

17.09.2005, 15:55

sqrt(2)

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Setze einfach die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein, du erhältst dann eine Gleichung nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

Zum Schnittwinkel: Eine Gerade hat unendlich viele Normalenvektoren. mach dir mal eine Skizze, wo du Ebene mit Normalenvektor und Gerade mit Richtungsvektor einzeichnest. Du wirst dann sehen, wie die mit dem Schnittwinkel zusammenhängen.

17.09.2005, 16:08

Fragender

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Also wenn ich das richtig verstehe geht das mit dem Normalverktor also nicht? Wie mach ich es dann sonst?

Und ich kann das doch nicht einfach einsetzen, das eine ist Paramater frei das andere nicht. Welche muss ich umformen? Bei mir kommt immer nur was falsches raus...

17.09.2005, 16:10

Fragender

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Achso.. also du meinst Normalverktor Ebene mit Richtungsverktor grade und DANN 90°-Winkel?

17.09.2005, 16:38

Fragender

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Also das mit dem Winkel hat geklappt, danke dir! Aber wie ich Die Koordinaten Form und die Parameterform gleichsetzen soll weiß ich immernoch net. unglücklich

17.09.2005, 16:43

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Fragender
Und ich kann das doch nicht einfach einsetzen, das eine ist Paramater frei das andere nicht.

Grade drum kann man einfach einsetzen. Das $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ in der Parameterdarstellung symbolisiert einen Punkt auf der Geraden. Das $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ symbolisiert einen Punkt auf der Ebene (wenn man einen Punkt einsetzt, der auf der Ebene liegt, dann ist die Gleichung, die herauskommt, wahr).

Wenn du also die Gerade in die Ebene einsetzst, erhältst du das $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , für das der Punkt auf der Geraden auch Punkt der Ebene ist.

17.09.2005, 17:01

Fragender

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Also ich habe eingesetzt und bekomme -r(1)+4r(2)+15r(3)=0 raus.. Was mach ich damit?

17.09.2005, 17:04

derkoch

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Zitat:

Original von Fragender
Also ich habe eingesetzt und bekomme -r(1)+4r(2)+15r(3)=0 raus.. Was mach ich damit?

deine gleichung stimmt so noch nicht! hast da ne ganze menge vergessen!

17.09.2005, 17:07

Fragender

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Was soll ich vergessen haben? Mir fällt beim besten Willen nix ein. unglücklich

17.09.2005, 17:09

derkoch

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wie kommst du denn auf deine gleichung? kannst du mal aufschreiben?

17.09.2005, 17:20

Fragender

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$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}+r \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}*\vec{x}-16=0 \end{eqnarray*}$

Dann g in E einsetzen:

$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}*(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}+r \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix})-16=0 \end{eqnarray*}$

Ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} E: 16+\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}*r\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}-16=0 \end{eqnarray*}$

-r(1)+4r(2)+15r(3)=0

17.09.2005, 17:24

derkoch

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leider nicht!
ich schreibe dir mal die gleichung um vielleicht siehst du deinen fehler!

E: $\begin{eqnarray*} -1\cdot x+ 2 \cdot y+5 \cdot z -16 = 0 \end{eqnarray*}$

jetzt mußt du das entsprechende für x, y und z aus deiner geradengleichung raus suchen und einsetzen!

17.09.2005, 17:39

Fragender

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Also:

$\begin{eqnarray*} -1\cdot (-1+r)+ 2 \cdot 2r+5 \cdot (5+3r) -16 = 0 \end{eqnarray*}$ ??

17.09.2005, 17:45

derkoch

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bis auf das vorzeichenfehler bei $\begin{eqnarray*} 2 \cdot (-2r) \end{eqnarray*}$ ist sonst alles oki!

ändere das um und dann nur noch ausrechnen

17.09.2005, 17:48

Fragender

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Juhu, es klappt endlich, danke!^^

17.09.2005, 17:48

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Fragender
$\begin{eqnarray*} -1\cdot (-1+r)+ 2 \cdot 2r+5 \cdot (5+3r) -16 = 0 \end{eqnarray*}$ ??

Der zweite Summand müsste $\begin{eqnarray*} 2(-2r)=-4r \end{eqnarray*}$ lauten. Wenn du aber kompliziertere Gleichungen einsetzt (z.B. eine Ebenengleichung), ist folgender Weg oft schneller:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1\\2\\5\end{pmatrix}*\left(\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\right)-16&=&0\\\begin{pmatrix}-1\\2\\5\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\2\\5\end{pmatrix}*r\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-16&=&0\\26+10r-16&=&0 \end{eqnarray*}$

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