Addition zweier komplexer Zahlen (harm. Schwingungen)

11.03.2008, 18:22	Xeal	Auf diesen Beitrag antworten »
Addition zweier komplexer Zahlen (harm. Schwingungen) Hallo ! Ich arbeite mich grade in Physik durch Schwingungen hindurch. Wir haben in der VL einfach zwei Schwingungen der Form: $\begin{eqnarray} x_1=A_1 \cdot e^{iw_1t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=A_2 \cdot e^{iw_2t} \end{eqnarray}$ Die beiden wurden addiert, leider ohne zwischenschritte: $\begin{eqnarray} x_1+x_2=[A_1 \cdot e^{i \cdot \frac{w_1-w_2}{2} t} + A_2 \cdot e^{-i \cdot \frac{w_1-w_2}{2} t}] \cdot e^{i \cdot \frac{w_1+w_2}{2} t} \end{eqnarray}$ Ich habe das jetzt versucht mal nachzurechnen, weiss aber nicht so recht wie ich dabei vorgehen soll. Eigentlich hätte ich gedacht, ich forme das zunächst mal in die kartesische Darstellung um, und addiere dann Real und Imaginärteile seperat. Anschließend kann ich dann wieder in Polardarstellung umformen. Ich bin so weit gekommen: $\begin{eqnarray} x_1+x_2=(A_1\cdot cos(w_1t)+A_2\cdot cos(w_2t))+i\cdot (A_1\cdot sin(w_1t)+A_2\cdot sin(w_2t)) \end{eqnarray}$ Wenn das richtig ist, wird man jetzt vllt irgendeine Trig. Beziehung brauchen, ich sehe aber nicht welche. Könnt ihr mir helfen ?
11.03.2008, 18:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat sollte man Vorsicht walten lassen beim Übertragen der Potenzgesetze ins Komplexe - aber $\begin{eqnarray} e^{z_1+z_2} = e^{z_1} \cdot e^{z_2} \end{eqnarray}$ gilt nach wie vor, und zwar für beliebige komplexe Zahlen $\begin{eqnarray} z_1,z_2 \end{eqnarray}$ .
11.03.2008, 18:25	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Addition zweier komplexer Zahlen (harm. Schwingungen) Den Umweg über karthesische Koordinaten brauchst du nicht gehen. Da wurde lediglich $\begin{eqnarray} e^{i \cdot \frac{w_1+w_2}{2} t} \end{eqnarray}$ ausgeklammert. Vereinfacht geschrieben: $\begin{eqnarray} Ae^a+Be^b=\left(\frac{Ae^a}{e^c}+\frac{Be^b}{e^c}\right)e^c \end{eqnarray}$
11.03.2008, 18:32	Xeal	Auf diesen Beitrag antworten »
hmpf. na das war ja echt simpel kopfschüttel Aber danke euch beiden !

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