Integration sin(ax+b)dx

12.03.2008, 11:51

Jensilein

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Integration sin(ax+b)dx

In einer Aufgabe soll

$\begin{eqnarray*} \int_{x1}^{x2}sin(ax+b)dx \end{eqnarray*}$ berechnet werden

In einer Übungsstunde wurden das wie folgt gelößt:

= $\begin{eqnarray*} [-cos(ax+b)*1/a]_{x1}^{x2} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 1/a (cos(ax_1+b)-cos(ax_2+b)) \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf das 1/a? Die "Aufleitung" von sin ist ja -cos und - soweit klar. Die 1/a muss durch die innere Aufleitung zustande gekommen sein. Wie genau wurde das aber berechnet? Mir ist das Prinzip nicht ganz klar.

12.03.2008, 11:54

Dual Space

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RE: Aufleitung sin(ax+b)dx
Substituiere zum Beispiel y=ax+b.

12.03.2008, 11:56

Jensilein

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Verstehe ich nicht ganz. Dann wäre ja im Integral

sin(y)dx

Wie wäre dann die Aufleitung davon? 2y? Wenn ich das dann rücksubstituiere passt das soweit nicht.

12.03.2008, 11:58

Dual Space

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Wie bitte kommst du auf 2y? Leite dein Ergebnis einfach ab, um zu überprüfen ob du richtig integriert hast.

12.03.2008, 12:09

Jensilein

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Hm, jetzt verstehe ich nur Bahnhof. Wenn ich y einsetze wäre es dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{x1}^{x2}~sin(y)~dx \end{eqnarray*}$

y = (\frac{y²}{y})'

also

= $\begin{eqnarray*} [-cos[(\frac{(ax+b)^2}{ax+b})]_{x_1}^{x_2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} [-cos[(\frac{(ax+b)*(ax+b)}{ax+b})]_{x_1}^{x_2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} [-cos(ax+b)]_{x_1}^{x_2} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man da auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ ? Kannst du das bitte Schritt für Schritt erläutern. Wäre dir sehr dankbar verwirrt

verwirrt

12.03.2008, 12:22

kiste

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Du musst das dx auch noch durch ein dy ersetzen.
Das bekommst du in dem du $\begin{eqnarray*} (ax+b)' = y' = \frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$ nach dy auflöst

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12.03.2008, 12:38

Jensilein

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Verstehe ehrlich gesagt immer noch nicht wie man auf 1/a kommt.

12.03.2008, 12:47

kiste

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Tja das passiert eben wenn du meinen Tipp ignorierst, der führt dich direkt zum 1/a.

12.03.2008, 13:02

Jensilein

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Wenn ich das auflöse ist

$\begin{eqnarray*} dy = (ax+b)' dx \end{eqnarray*}$

(ax+b)' ist doch 0 oder nicht?

12.03.2008, 13:10

klarsoweit

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Nee, wieso? Vielleciht wird es so klarer:

Es ist y(x) = a*x + b . Was ist dann y'(x) ?

12.03.2008, 13:31

Jensilein

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1/a

smile

12.03.2008, 13:44

klarsoweit

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unglücklich

$\begin{eqnarray*} y'(x) \neq \frac 1 a \end{eqnarray*}$

12.03.2008, 14:37

Jensilein

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Hm, also wir leiten ja nach dx ab

Also müsste y'=b sein

12.03.2008, 15:06

klarsoweit

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Nein, wir leiten nach x ab, nicht nach dx. Und y' ist auch nicht b.

Die Ableitung von y(x) = a*x + b kann jeder Oberstufenschüler.

12.03.2008, 15:26

Jensilein

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Ich hab vergessen wie es ging und bin mir halt unsicher.

Also wenn man x Ableitet ist x gleich 1. D.h. dann müsste y'(x)=a+b sein oder sehe ich das falsch. Hab halt kein Plan mehr...

12.03.2008, 15:29

shakerZ

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b ist eine Konstante.

12.03.2008, 15:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jensilein
D.h. dann müsste y'(x)=a+b sein oder sehe ich das falsch.

In der Tat siehst du das falsch. Was ist denn die Ableitung von y(x)=2x+3 ?

12.03.2008, 15:32

Jensilein

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ahhhh stimmt Also muss y'(x)=a sein

Edit: y(x)=2x+3=> y'(x)=2

Aber wie komme ich dann auf 1/a?

12.03.2008, 15:44

klarsoweit

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Statt y'(x) kannst du auch $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ schreiben und das nach dx umstellen.

Wurde weiter oben auch schon gesagt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.03.2008, 15:52

Jensilein

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Sorry aber ich versteh das wirklich nicht.

Also wir haben $\begin{eqnarray*} \int_{x1}^{x2}~sin(y)~dx \end{eqnarray*}$ jetzt habe ich ausgerechnet was sin(y) ist (aufgeleitet).

Nun sagst du, dass man statt y'(x) auch dy/dx schreiben kann. Wenn ich jetzt nach dx umstelle, ist das für mich: dx=dy?! Wie soll ich das da oben einbauen?

12.03.2008, 15:56

Mulder

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Zitat:

Aber wie komme ich dann auf 1/a?

Etwas laienhafter ausgedrückt: Schau dir doch noch mal die Substitutionsregel an. Wenn du y=f(x) substituierst, muss im Integral ja irgendwo f'(x) auftauchen. Das tut es anfangs aber nicht. Also muss das noch irgendwie hinzugefügt werden. Wir dürfen aber den Gesamtausdruck nicht verändern, das musst du beachten. Also, was ist f'(x) hier und was ist also zu tun?

12.03.2008, 15:57

klarsoweit

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Bevor du integrierst, mußt du auch das dx im Integral ersetzen. Und das dx erhältst du aus $\begin{eqnarray*} y'(x)=\frac{dy}{dx} = a \end{eqnarray*}$ .

Ich frage mich langsam wirklich, warum das ganze unter Hochschule diskutiert wird, wo das trivialer Oberstufenstoff ist. verwirrt

verwirrt

12.03.2008, 15:59

Dual Space

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ich frage mich langsam wirklich, warum das ganze unter Hochschule diskutiert wird, wo das trivialer Oberstufenstoff ist. verwirrt

verwirrt

Das sehe ich auch so .... ab damit in die Schulmathe.

*verschoben*

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