Summe von Quadratzahlen

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Insanity84 Auf diesen Beitrag antworten »
Summe von Quadratzahlen
Thema: Zahlentheorie, Teilbarkeit

Hallo ihr Mathecracks!
Folgende Aufgabe habe ich zu loesen:
Zeigen Sie: Die Summe von drei aufeinander folgenden Quadratzahlen kann keine Qua-
dratzahl sein.

Ich habe dann erstmal eine Gleichung aufgestellt:

Umgeformt zu



Nun komm ich aber leider nicht weiter. Ich denke ich muss jetzt noch den mod Operator anwenden um die Aussage zu beweisen, weiss aber nicht wie.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe von Quadratzahlen
Vielleicht wäre es hier günstiger so anzusetzen:



Evtl. hilft's ja irgendwie. verwirrt
Insanity84 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe von Quadratzahlen
Hey das sieht ja auf den ersten Blick schon mal besser aus, aber es hilft mir leider auch nicht weiter. unglücklich

Die Form

erinnert mich an

wobei k ein ganzzahlquotient und r der rest ist (Definition Division mit Rest).

Allerdings hilft mir das nicht weiter.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe von Quadratzahlen
Hier mal noch 2 evtl. hilfreiche Themen:

Rest bei Division einer Quadratzahl durch 4

quadrate
Insanity84 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe von Quadratzahlen
Dann muss ich damit argumentieren, dass der Rest jeweils auch nur wieder eine Quadratzahl sein kann?
Und 2 ist keine Quadratzahl. Hmm klingt logisch ^^ Danke
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm den Ansatz von Dual Space. Ich würde dir einen indirekten Beweis empfehlen. Nimm zunächst an, (n-1)²+n²+(n+1)² sei eine Quadratzahl. Überlege dir, warum n dann nicht durch 2 teilbar sein kann. Was folgt daraus für die Form von n? Setze das wieder ein, und zeige, daß dann m zwar durch 2 aber nicht durch 4 teilbar ist, also ein Widerpruch entsteht.


Edit: zu spät gepostet. Ist natürlich derselbe Weg wie bei Dual Space, nur daß ich zweimal hintereinander Teilbarkeit durch 2 betrachte, und er direkt die Restklassen modulo 4=2*2 betrachtet.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann's auch gleich modulo 3 betrachten, dann geht's noch schneller. Augenzwinkern


EDIT: Oder steht das schon irgendwo in euren Tipps? Sorry, hab ich nicht mitgekriegt, hab immer nur was von modulo 4 gelesen.
Insanity84 Auf diesen Beitrag antworten »

Das es mit mod 3 auch geht, versteh ich ja, aber wieso geht es dann schneller?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na modulo 3 auf angewandt führt zu , was wegen , unmöglich ist. Erscheint mir etwas einfacher als die Betrachtung modulo 4, wie sie Tom^4 skizziert hat. Augenzwinkern
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, schneller ist relativ, im Prinzip sind alle Wege so kurz, daß es egal ist. Das Prinzip ist immer dasselbe. Du nimmst dir eine natürliche Zahl, und zeigst, daß beide Seiten nicht dieselbe Restklasse bezüglich dieser Zahl haben können. Dabei sollte man eben möglichst kleine Zahlen wählen, damit man nicht soviel zu rechnen hat. Ich habe mit der Zahl 2 angefangen, hatten deswegen nur 2 mögliche Restklassen, aber brauchten noch ein paar zusätzliche Überlegungen, während Arthur Dent mit der Zahl 3 angefangen hat, was direkt zum Ergebnis führt. Dual Space hat mit der Zahl 4 angefangen, weil er sich an ein sehr bekanntes Ergebnis erinnert hat, welches sehr oft im Zusammenhang mit Quadratzahlen verwendet wird (nämlich daß Quadratzahlen modulo 4 nur die Rest 0 und 1 lassen können), ohne daß er dieses nochmal nachrechnen mußte.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Naja, schneller ist relativ

Über Ansichten bzgl. Aufwand lässt sich trefflich streiten. Jedenfalls ist es schon mal ein großer Vorteil, wenn man wie hier mit modulo 3 schon mal eine Variable (das ) vollständig ausgeklinkt hat. Das erleichtert einiges.
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