Ableitungs Problem [ehem. "aNaLySiSpRoBlEmChEn..."]

27.03.2004, 17:48

Alina_St@r

Ableitungs Problem [ehem. "aNaLySiSpRoBlEmChEn..."]

Die drei Ableitungen von f(x)= (2x)/(x^2+1)?

Ist das vielleicht: f'(x)=(-2x^2+1)/(x^2+1)^2 ????
Und dann hab ich u(x)= -2x^2,u'(x)= -4x;v(x)= (x^2+1)^2;v'(x)=2x^2,aber ich befürchte dass v(x) falsch ist,oder?

27.03.2004, 18:24

Drödel

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RE: aNaLySiSpRoBlEmChEn...
$\begin{align*} f(x)=\frac{2x}{x^2+1} \qquad \Rightarrow \qquad f'(x)=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2} \end{align*}$

Nach der Quotientenregel ist die Ableitung eines Bruchs wieder ein Bruch dessen Zähler aus (Ableitung des Zählers * Nenner - ABleitung des Nenners * Zähler) besteht und dessen Nenner der ursprüngliche Nenner^2 ist. (Anschließendes Kürzen dieses Term der Ableitung ist manchmal noch möglich)

$\begin{align*} u(x)=-2x^2 \qquad \Rightarrow \qquad u'(x)=-4x \end{align*}$ Da liegste richtig :]
$\begin{align*} v(x)=(x^2+1)^2 \qquad \Rightarrow \qquad v'(x)=2(x^2+1) \cdot 2x = 4x (x^2+1) \end{align*}$ Da ist dein Lösungsvorschlag also falsch traurig

Du hast "vergessen" die Kettenregel richtig anzuwenden

Happy Mathing

27.03.2004, 18:30

Daniel

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Bitte nächstes mal einen Aussagekräftigen Titel Wählen der was mit dem thema zu tun hat smile

// Renamed

27.03.2004, 19:53

Alina_St@r

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Das hat schon seine Richtigkeit mit der Wahl des Thematitels,...........kommt nämlich noch was zu.....

Wie kommt man denn von (x^2+1) auf -2x^2?

27.03.2004, 21:16

Drödel

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Ähm ... könntest du das genauer formulieren? Ich kann nur raten was du meinst, denn genau das was du fragst hab ich nie geschrieben geschockt

Ich denke du meinst "wie komm ich auf die Ableitung des Bruchs ganz oben" Augenzwinkern

Zitat:

Original von Drödel
$\begin{align*} f(x)=\frac{2x}{x^2+1} \qquad \Rightarrow \qquad f'(x)=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2} \end{align*}$

Nach der Quotientenregel ist die Ableitung eines Bruchs wieder ein Bruch dessen Zähler aus (Ableitung des Zählers * Nenner - Ableitung des Nenners * Zähler) besteht und dessen Nenner der ursprüngliche Nenner^2 ist. (Anschließendes Kürzen dieses Term der Ableitung ist manchmal noch möglich)

Dann machen wir das halt mal ausführlichst

$\begin{align*} f(x)=\frac{2x}{x^2+1} \qquad \Rightarrow \qquad f'(x)=\frac{(2x)' \quad \cdot \quad (x^2+1) - (x^2+1)' \quad \cdot \quad 2x}{(x^2+1)^2} =\frac{2 \cdot (x^2+1) - 2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\underline{\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}} \end{align*}$

Wars das was du nicht verstanden hast?

Happy Mathing

28.03.2004, 01:29

Alina_St@r

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aber 2x^2+2-4x^2 ist doch -2x^2^+2!!!

28.03.2004, 11:54

Drödel

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Oh ja ---

... Sorry , hab mich vertippt. Ich habs ausgebessert.

Happy Mathing

28.03.2004, 12:14

Alina_St@r

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Ja,siehste.......das hatte mich iritiert.Aber in deiner ersten Nachricht hast du das noch nicht ausgebessert!!!

Und jetzt für f''(x) ist dann u(x)= -2x^2,......fällt die 2 einfach weg???

28.03.2004, 12:18

Drödel

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Jetzt ist es auch oben ausgebessert. traurig

Mist... Einmal vertippt und dann das leidige Copy&Paste-Problem geschockt

ähm, was ist u(x)? Solltest du mit u(x) die Teilfunktion des Zählers meinen, dann hast du "halbrecht" Augenzwinkern

u(x)=2x^2-2 --> u'(x)=4x

Jo die 2 "fällt weg", denn die Ableitung einer Konstante ist 0 und die Ableitung der Summe/Differenz zweier Funktionen ist die Summe/Differenz der Ableitungen der einzelnen Terme

Happy Mathing

28.03.2004, 12:32

Alina_St@r

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RE: aNaLySiSpRoBlEmChEn...
und u(x) ist aber -2x^2+2 oder dann auch nur -2x^2?

28.03.2004, 13:14

Drödel

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RE: aNaLySiSpRoBlEmChEn...
Wenn du dich genau auf den Zähler deines gegebenen Bruches beziehst JA.Dann ist natürlich u(x)=-2x^2+2 und u'(x)= - 4x

Vielleicht doch mit Bruchterm - so ganz ausführlich ? Augenzwinkern

$\begin{align*} f'(x)==\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2} \qquad \Rightarrow \qquad f'(x)=\frac{(-4x)(x^2+1)^2 - (-2x^2+2)\cdot 2(x^2+1)}{(x^2+1)^4} \end{align*}$

So vereinfachen kriegste doch hin, oder? Augenzwinkern

Happy Mathing

13.04.2004, 13:51

Alina_St@r

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da muss man jetzt die binomische formel ausrechnen!
das ist ja voll die ** zu rechnen

13.04.2004, 21:16

Drödel

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Wieso? Du kannst doch wunderbar (x^2+1) in Zähler und Nenner kürzen!, damit vereinfacht sich das Ganze dann sehr schnell ...

Happy Mathing

17.04.2004, 13:51

Alina_St@r

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also,ich hab dann
-4x* (x^2 +1)^2 - (-2x^2+2)* 2(x^2 +1)*2x
-------------------------------------------
(x^2+1)^4

was kann kann man denn jetzt wegkürzen???
Der Nenner muss auf jeden (x^2+1)^3 werden!!!!Das weiß ich,aber oben stören mich die binome!!! :P

17.04.2004, 14:16

BraiNFrosT

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du kannst im Zähler einmal (x² + 1) ausklammern und dementsprechend einmal
kürzen :

$\begin{align*} = \frac{-4x*(x^2+1)- (-2x^2+2)*4x}{(x^2+1)^3} \end{align*}$

dann kannst du ausmultiplizieren und zusammenfassen.

Grüße vom Frosty

17.04.2004, 14:33

Alina_St@r

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aber das is richtig???

u(x)= ( -2x^2+2)
v(X)= (x^2+1)^2
u'(x)= -4x
v'(x)=2(x^2+1)*2x

Dann hab ich aber noch
-4x^3+1-(-2x^2+2)*2x^2+4x
-------------------------------------------
(x^2+1)^3

17.04.2004, 14:46

BraiNFrosT

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Es ging doch nur um das vereinfachen des Zählers oder ?
Da brauchst du kein u und v

$\begin{align*} = \frac{-4x^3-4x+8x^3-8x}{(x^2+1)^3} \end{align*}$

das ist

$\begin{align*} = \frac{4x^3-12x}{(x^2+1)^3} \end{align*}$

wenn du magst noch ausklammern

$\begin{align*} = 4x\frac{x^2+3}{(x^2+1)^3} \end{align*}$

edit : sry ein Vorzeichenfehler hat sich eingeschlichen. SO ein Schlingel : )

17.04.2004, 14:51

Alina_St@r

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ja is schon klar,....das war ein schritt (oder auch ein paar mehr?)davor,......

aber wie kommst du von

-4x^3+1-(-2x^2+2)*2x^2+4x
-------------------------------------------
(x^2+1)^3

auf -4x^3-4x+8x^3+8x ?

17.04.2004, 14:59

BraiNFrosT

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also ganz langsam : Die zweite Ableitung

$\begin{align*} f''(x) = \frac{-4x*(x^2+1)^2 - (-2x^2+2)*2*(x^2+1)*2x}{(x^2+1)^4} \end{align*}$

Im Zähler steht eine Summe, aber du kannst (x²+1) ausklammern :

$\begin{align*} f''(x)=(x^2+1)\frac{-4x*(x^2+1)-(-2x^2+2)*2*2x}{(x^2+1)^4} \end{align*}$

Und dann kürzen ..... siehe vorige Posts.

Nun etwas klarer ?
PS Ich glaube du hast einen Fehler beim ausmultiplizieren gemacht.

17.04.2004, 15:07

Alina_St@r

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WENN MAN ALSO AUSMULTIPLIZIERT FÄLLT DAS EINE ^2 WEG und einmal (x^2+1) im zähler und unten wird es ^3?

17.04.2004, 15:13

BraiNFrosT

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Nein, durch das Ausklammern und Kürzen fällt das weg.
Ich meinte schon den nächsten Schritt, aber versuch erstmal
das Ausklammern nachzuvollziehen.

BTW. so bekommt man auch seine Beiträge zusammen, du meine Güte =)

EDIT : Vielleicht ungünstig geschrieben, sieh es dir mal so an :

$\begin{align*} f''(x)=\frac{[x^2+1](-4x*(x^2+1)-(-2x^2+2)*2*2x)}{(x^2+1)^4} \end{align*}$

17.04.2004, 20:48

corasun

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Hallo Frosty,
hier ist Deine Lieblingsschülerin. Tanzen

Mir ist keine Frage zu Mathe eingefallen. verwirrt

Kann daran liegen, dass mich Mathe leider gaaaar nicht interessiert. Aber ein sehr schönes Forum ist das hier.Alle Achtung!!Nen richtiger brainpool (schreibt man das überhaupt so?)hier.Respekt. Ich wünschte, ich wäre auch so klug. traurig

Naja, dafür habe ich andere Qualitäten.(die ich nur noch herausfinden muss) Gott

Na, dann mach es mal hübsch Du knackiges Matheass!!!
Liebe Grüße und Knutschi
P.S. Werd doch bitte bittePilot!!!

18.04.2004, 01:43

Alina_St@r

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Wie bestimme ich denn jetzt eine ganzrationale Funktion g(x), die dieselben Symmetrieeigenschaften und dieselben Extrempkt. aufweist wie f(x)?

wie macht man das???

18.04.2004, 10:12

johko

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Als erstes:
Due Funktion hat im Zähler nur ungerade und im Nenner nur gerade Potenzen, folglich ist sie ungerade.(siehe http://www.koproduktionen.de/polynom.htm
der Ansatz für das Polynom lautet also schätzungsweise
höchstens
g(x) =ax^7 +bx^5+cx^3+dx
g´(x) = 7ax^6+5bx^4+3cx^2+d

(Wenn zwei Extrema pro Symmetrieseite vorliegen, bei einem mehr oder weniger kommen zwei Glieder dazu, oder sie fallen eben weg.)
Jedes Extremum liefert zwei Bedungungen und somit zwei Gleichungen, die ebenso viele Unbekannte outen können.

E (x/y) ->
g(x) = y
g´(x) =0

gruss johko

18.04.2004, 10:23

Alina_St@r

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kannst du mir vielleicht zeigen,wie die funtion zu errechnen wäre,wenn man eine funktion dritten grades suchen würde mit diesen eigenschaften??

18.04.2004, 10:39

johko

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Dann gibt es nur eine Extremstelle
und die jeweils ersten beiden Summanden bei g(x) fallen weg.

g(x) = y =ax^3+bx
g´(x) =0 = 3ax^2+b

x und y sind die Koordinaten der vorher errechneten Extremstelle.
johko

18.04.2004, 10:55

Alina_St@r

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lokale extremstellen bekomme ich,wenn ich die erste ableitug glieich 0 setze,.....
soll ich dann mal mit den nenner multiplizieren,so dass ich die gleichung habe

-2x^2+2*(x^2+1)^2=0

jetzt muss ich den binom ausrechnen,oder?

18.04.2004, 11:23

johko

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Zum ersten: Logisch
Zum zweiten gilt GAAANZ EINFACH:
Ein Bruch hat dann den Wert 0, wenn sein Zähler den Wert 0 hat.(und der Nenner NICHT 0 ist, aber das ist hier ja erfüllt.)

Das müsste eigentlich bei x=1 der Fall sein. Bei x = -1 auch, aber wegen der Symmetrie brauchst du das nicht mehr. Da genügt die Extremstelle bei x= 1.

Johko

18.04.2004, 11:31

Alina_St@r

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wie komme ich denn dann auf g(x)= -1/2 x^3 + 3/2 x?

18.04.2004, 12:33

johko

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1) Es soll ein Polynom 3. Grades sein
2) Es ist punktsymmetrisch laut Forderung in der Aufgabenstellung, soweit du sie richtig wiedergegeben hast.

18.04.2004, 13:18

Alina_St@r

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8)oki,ich habs jetzt verstanden